Transformada Rápida de Fourier

Os algoritmos que implementam a transformada rápida de Fourier assumem que a função a transformar está definida e amostrada num intervalo , com valores onde para . Daí que, para amostrar e transformar uma função numa janela de largura seja necessário transladar toda a função por , e efectivamente definir uma nova função

No Mathematica, a Transformada de Fourier discreta de uma lista de   pontos é a lista   onde

                                                                     
                                                                     
Se pusemos ,  , então  

                                                        

                     

Designando por os pontos no intervalo ÷x, podemos  reescrever



Assim conclui-se que

                     
                     
Estes coeficientes diferem em sinal alterno dos provenientes de implementações C de FFT, onde o primeiro elemento duma lista tem índice 0.  

Convém ainda indicar que, de acordo com as normas da FFT,

-- o primeiro coeficiente corresponde á frequência  ('número de onda')    .
-- os primeiros coeficientes    correspondem às frequências positivas  ,
-- o coeficiente corresponde ao ponto de 'aliasing'
-- e os últimos     vão das frequências mais negativas para as menos negativas .
  

É assim desejável definir um operador que produza uma lista ordenada crescentemente com a frequência:  o índice aqui corresponde portanto a uma frequência . Note-se ainda que é uma frequência, e não uma frequência angular .

Assim, o resultado de não é directamente a transformada de Fourier da discretização, é necessário inverter o sinal dos coeficientes  de dois em dois para obter e depois rearranjar com para obter os verdadeiros coeficientes! Contudo, para inverter com deve-se usar o formato de  .