Solução

Para obter a parte real e a parte imaginária de é necessário expandir trigonométricamente com e depois declarar que .

A aplicação do Laplaciano a estas funções é agora simples:

Para usar a função convém definir o módulo do número complexo como

Convém aplicar aqui regras trigonométricas e simplificar para

A relação entre e o argumento do número complexo pode ser traduzida pela expressão .  Para as linhas coordenadas cartesianas ou esta expressão pode ser usada para exprimir ou em termos de na magnitude , i.e. e

Desligando os avisos de que chega a para valores finitos de dependendo de , podemos criar a imagem das linhas coordenadas verticais, e depois a das linhas coordenadas horizontais dependendo de .