6ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC6_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Inicialização

Problema 1

Considere uma roda de raio e velocidade que roda sem deslizar num movimento linear e uniforme . Deduza as expressões para a velocidade e aceleração de qualquer ponto da roda, quando visto do referencial do chão. Faça gráficos usando mostrando uma distribuição destes vectores em todas as zonas da roda.

Solução 1

A posição dos pontos da roda é muito convenientemente indicada por , com e   vectores polares ligados ao centro da roda. No caso de movimento uniforme, sem deslizamento, com velocidade relativa ao chão, a posição do centro é dada por . Assim, o vector posição em qualquer instante dum ponto da roda é, no referencial do chão,  . A velocidade e aceleração desse ponto determinam-se como sempre calculando e , tendo em conta que para um ponto fixo da roda , e se esta rola com velocidade angular constante então .

Podemos agora integrar as equações de movimento para um ponto genérico da roda, usando . Depois de obter a função temporal , as suas derivadas explícitas em ordem a determinam e em cada .

No seguinte gráfico, estão representadas as trajectórias (ciclóides) dos pontos da roda inicialmente sobre a vertical do ponto de contacto no chão. As respectivas velocidades (a cores) e acelerações (a preto) mostram que a aceleração é sempre radial no caso do movimento uniforme.

Uma 'fotografia' da roda daria uma imagem instantânea das velocidades e acelerações da seguinte forma:

Problema 2

Defina uma função para obter listas de valores de soluções aproximadas de equações diferenciais ordinárias.

Note que uma equação diferencial de 1ª ordem de facto pode ser entendida como um campo de direcções, representado pelo versor

Construa uma representação do campo em que as linhas de campo sejam usadas para origem dos vectores, i.e. a lista de pontos obtida por uma sequência de condições iniciais suficientemente grande para cobrir a área a representar.

Considere a seguinte equação diferencial: . Utilize a função para estudar as suas soluções para vários na vizinhança de .  Faça um gráfico usando e em que seja visível o comportamento assimptótico das várias soluções. Verifique que para suficientemente grande o método de Euler falha, obtendo-se um comportamento aparentemente caótico dos pontos calculados. Mostre que existe um passo suficientemente pequeno para que volte a funcionar, dando soluções perfeitamente regulares.

Solução

Instabilidade numérica cria um aparente mecanismo de duplicação de período conducente a um movimento caótico, mas esse comportamento é um artifício resultante da falta de precisão do método de integração numérica: a diminuição do passo resolve essa situação dentro do intervalo de tempo considerado.

Problema 3

Mostre que a expansão da solução exacta duma equação diferencial até à ordem em na vizinhança de coincide com um passo do método de Euler melhorado a menos de termos de ordem . Mostre que as mesmas expansões levadas  até à ordem validam o método de Runge-Kutta de ordem 4.

Problema 4

Construa um operador genérico   que, dada uma função lagrangeana de coordenadas generalizadas e respectivas velocidades , deduza explícitamente as equações de Lagrange

                                                           

onde representam forças generalizadas.   Aplique-o para deduzir equações de movimento para o pêndulo de Atwood, consistindo em duas massas e , ligadas por um fio inextensível passando livremente por um curto tubo horizontal fixo. A massa está inicialmente em equílibrio, enquanto tem uma condição inicial diferente do equilíbrio. Integre numéricamente as equações e represente gráficamente o movimento do pêndulo.

Solução

O lagrangeano deste pêndulo, com a restrição de movimentos planos da massa e movimentos verticais na massa , é função de coordenadas generalizadas   e suas velocidades .

As respectivas equações de Euler-Lagrange   fornecem as equações de movimento

A função gera soluções numéricas destas equações a partir de para um pêndulo cujo comprimento inicial do lado de é .