8ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC8_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Problema 1

Usando os nomes de dois elementos do seu grupo, crie duas imagens com letras do tipo {"Times-Bold", 64} e transforme-as em duas matrizes quadradas de números reais (use as funcionalidades de Display e/ou Export). Usando Fourier e InverseFourier,   represente com ListDensityPlot ou Raster o efeito nas imagens de alterar a fase ou amplitude dos respectivos coeficientes de Fourier. Observe também a convolução e a correlação destas imagens uma com a outra. Que conclusões tira sobre a fase e a amplitude dos coeficientes de Fourier?

Problema 2

Determine a solução da equação de difusão (((∂^2) u)/(∂(x^2)))=((∂u)/(∂t)) com a condição inicial u[x, 0] = 1 se \(TraditionalForm\`|x| ≤ 1\) e zero fora deste intervalo. Faça uma animação mostrando a evolução da solução para t > 0.

Problema 3

Uma corda de guitarra está presa em x = 0 e x = L. Sugira condições iniciais u[x, 0] = f[x] e ((∂u)/(∂t))[x, 0]=g[x] e, usando transformadas de Fourier e/ou de Laplace, resolva a equação  de ondas (((∂^2) u)/(∂(x^2)))==(1/(v^2)) (((∂^2) u)/(∂(t^2))), onde v = (Sqrt[(T/λ)]), T a tensão na corda e λ a sua densidade linear de massa. Mostre a evolução da solução numa animação e use a função Play para ouvir o som gerado pela corda, e compare a intensidade do tom fundamental com os das harmónicas seguintes .

Problema 4

A evolução de uma partícula num potencial V[x] é descrita em mecânica quântica por uma equação do tipo i ((∂ψ)/(∂t))==(-(1/2) (((∂^2))/(∂(x^2)))+V)ψ ≡ ℍψ. Usando transformadas de Fourier mostre que, para a partícula livre (V = 0) esta equação é fácilmente resolúvel e construa o propagador \(TraditionalForm\`\(e\^\(\(-iℍΔ\) \[RawEscape]t\)\) ψ[x, 
            t] -> ψ[x, t + Δt]\) usando uma discretização adequada para uma forma de onda inicial arbitrária ψ[x, 0]. Represente a sua evolução temporal gráficamente.