8ª Aula Prática de TFCOMP-II

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Problema 1

Usando os nomes de dois elementos do seu grupo, crie duas imagens com letras do tipo  e transforme-as em duas matrizes quadradas de números reais (use as funcionalidades de  e/ou ). Usando  e ,   represente com  ou  o efeito nas imagens de alterar a fase ou amplitude dos respectivos coeficientes de Fourier. Observe também a convolução e a correlação destas imagens uma com a outra. Que conclusões tira sobre a fase e a amplitude dos coeficientes de Fourier?

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Problema 2

Determine a solução da equação de difusão  com a condição inicial  se  e zero fora deste intervalo. Faça uma animação mostrando a evolução da solução para .

Solução 2

Solução usando transformadas de Fourier

Condição inicial e sua transformada.

Solução por convolução com o "Heat Kernel"  da condição inicial 

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Problema 3

Uma corda de guitarra está presa em  e . Sugira condições iniciais  e  e, usando transformadas de Fourier e/ou de Laplace, resolva a equação  de ondas , onde ,  a tensão na corda e  a sua densidade linear de massa. Mostre a evolução da solução numa animação e use a função  para ouvir o som gerado pela corda, e compare a intensidade do tom fundamental com os das harmónicas seguintes .

Solução 3

A solução geral de uma equação do tipo  é , onde e  são funções arbitrárias, representando perfis que se deslocam para a direita e a esquerda com velocidade . De facto:

Quando se especificam condições iniciais, restringe-se a forma de  e .

Frequentemente, as condições iniciais indicam que a corda deformada parte do repouso, i.e. .

Neste caso  e .

No caso contrário a corda parte do equilíbrio  com velocidade inicial dada por , e então , onde .

Para além de condições iniciais pede-se ainda que se verifiquem condições fronteira, i.e. no caso  e .  Vamos considerar o caso de .

O método das imagens permite visualizar de forma simples a solução pretendida. Consideremos uma solução que é a sobreposição de três destas formas de onda: para , , onde  .  Esta forma propaga-se para a esquerda como  e para a direita como , e para garantir que  é necessário adicionar à esquerda uma solução partindo de  para ,  e à direita para ,  . Estas condições iniciais para segmentos virtuais da corda são imagens virtuais, com focos em  e ,  da forma inicial da corda no intervalo .

Vamos  exemplificar com  e .

Infelizmente esta não é a solução final porque, embora se verifiquem as condições fronteira, apenas se observam duas reflexões.   Para se observar um movimento periódico tem que se  estender a definição de  da seguinte forma

Obtemos assim uma condição inicial periódica de período  sobre toda a recta , e s sua evolução temporal como solução da equação da corda vibrante dá-nos a solução pretendida no intervalo 

A seguinte animação mostra como  e .

Olhemos agora para o movimento de um ponto fixo da corda. O som gerado pela corda tem mais a ver com este movimento temporal do que com a forma espacial da corda (o som corresponde a uma oscilação longitudinal do ar, enquanto a deformação da corda é transversal).  Para ouvir um som tem que existir uma oscilação de frequência .  Quando  é conhecido, podemos estimar que para formas iniciais muito simples.

Compare este com um tom puro de :

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Problema 4

A evolução de uma partícula num potencial  é descrita em mecânica quântica por uma equação do tipo . Usando transformadas de Fourier mostre que, para a partícula livre () esta equação é fácilmente resolúvel e construa o propagador  usando uma discretização adequada para uma forma de onda inicial arbitrária . Represente a sua evolução temporal gráficamente.