Cordas Vibrantes-Demos, métodos de resolução, corda com massa

Instituto Superior Técnico

Resolução da equação de onda  para uma corda vibrante

Resumo

Neste trabalho foram abordados vários casos que envolvem a resolução da equação de onda para uma corda vibrante.

Foi deduzida a equação que governa o movimento de uma corda para pequenas oscilações.

No exemplo 1 foi dada uma solução geral para a propagação de uma onda com qualquer forma inicial, tendo sido obtidas duas funções genéricas que dependem apenas das condições iniciais. Deu-se de seguida uma função particular onde foi explorado o seu comportamento a nível temporal.  Para se obterem as reflexões em relação às extremidades da corda utilizou-se o método das imagens.

No 2º exemplo resolveu-se a equação de onda utilizando o método de separação de variáveis e as condições fronteira (corda fixa nos extremos). Utilizaram-se as séries de Fourier para exprimir as condições iniciais e fez-se uma animação para as mesmas. Fez-se também a representação de algumas das harmónicas que constituem o movimento da corda.

No exemplo 3 foi explora uma abordagem que consiste em representar a cora por várias massas igualmente espaçadas entre si. Fez-se então uma adaptação da equação de onda ao problema e obteve-se a solução para n massas obtendo-se uma representação animada do movimento das massas.

Explanação de Teoria

em que é o ângulo que a corda faz com a horizontal no ponto A, é o ângulo que a corda faz com a horizontal no ponto B e T é a tensão na corda

expandindo em série de Taylor no ponto A

e utilizando a Lei de Newton

em que m=μ d x

substituindo-se obtem-se

Fazendo v=em que v é a velocidade de propagação das ondas na corda, T é a tensão da corda  e μ  é a sua densidade linear )  obtém-se

que é a equaçõa de onda

Exemplo 1 - propagação de uma perturbação numa corda

Teoria

As funções f e g são determinadas pela constantes iniciais:

e fazendo t=0 na resolução da equação obtém-se

Como a função tem que ser contínua e na forma f[x-v t]+g[x+vt] pode-se deduzir que

e sendo z[x,t] combinação linear de f e g a constante c pode-se eliminar obtendo

Exemplo

(em que s é um desvio inicial em relação ao centro da corda, a é abertura da perturbação e b a altura da perturbação inicial)  a solução da equação das ondas é

Para representar a propagação da onda é necessário ter em conta que z[0, t] e z[L, t] sejam 0. Assim teremos que defenir mais funções de modo a que simulem a reflexão da corda nas extremidades com o seguinte aspecto

com os valores numéricos de

Exemplo 2 - corda fixa nas extremidades

As condições iniciais são:

Método da separação de variáveis

substituindo na equação das ondas obtemos

Resolvendo as equações

condições fronteira

tem como soluções

para não dar soluções triviais

Substituindo em z[x,t] a solução fica da forma

condições iniciais

Como há n soluções diferentes podem-se formar combinações lineares destas sendo  e  as constantes correspondentes a cada frequência

Exemplo

Para uma corda com velocidade inicial igual a 0 e a seguite forma inicial

obtendo a seguinte animação

Expandindo a solução otemos a soma de várias harmónicas

Algumas das suas harmónicas são:

n=1

n=3

n=5

Exemplo 3 - corda com massas

Teoria

Para uma corda com N massas igualmente espaçadas por uma distância d e comprimento L = (N+1) d, e com força atractiva entre partículas adjacentes T as componentes das forças são dadas por:

em que  é o ângulo que o fio que liga a massa j à massa j+1 faz com a horizontal,  é o deslocamento vertical da massa j em relação ao ponto de equilíbrio.

A equação do movimento vai ser então dada por =

que representa a equação de onda .

Fazendo obtemos

Obtendo então N equações diferenciais, uma para cada j e em que as condições fronteira são =0 e =0

Para N=1 e com velocidade inicial igual a zero obtemos

Para obtermos as frequências dos vários modos considerando a velocidade inicial 0

Obtendo então n equações

Exemplo

Fazendo uma animação de um sistema com n massas obtemos uma combinação linear dos modos próprios.

Conclusões

No exemplo 1 resolveu-se a equação de onda par uma perturbação inicial dada pela função  e velocidade vinit[x] que podem ser alteradas para uma função arbitrtrária. Para se observar as reflecções nas extremidades efectuou-se o método das imagens que consiste em utlizar uma função no intervalo [-3L,-L] que é a reflecção da forma da corda em relação ao eixo vertical no ponto x=0 de modo que anule a forma da corda e quando a perturbação chegue a x=0 seja substituida por uma que provem desta reflexão. Faz-se outra ainda para o intervalo [L,3L] pelas mesmas razôes. Analogamente fazem-se funções para anular estas reflecções nos intervlos [-5L,-3L] e [3L,5L].

No exemplo 2 resolveu-se a equação de um modo geral até se imporem as condições iniciais. Calcularam-se as constantes  e fazendo o integral e considerando uma função ímpar de z inicial no intervalo [-L,0]. No caso de  se não existir velocidade inicial  (é o caso utlizado) o integral que o define será 0. Para  note-se ainda que as harmónicas pares são 0. Aproximou-se a forma inicial do fio por uma série de Fourier com número de parcelas igual a 10. Pensamos ser uma boa aproximação visto a forma inicial se parecer com a série e o facto da amplitude das harmónicas decrescer rapidamente. Isto pode verificar-se nos modos próprios am animação acima. Pode-se, no entanto, ter uma maior a precisão da aproximação aumentando o número de termos da série de Fourier, o que causará um aumento significativo do tempo de cálculo.

No 3º exemplo começou-se por adaptar a equação de onda ao problema visto haver n massas pendentes nesta. Considerou-se uma equação para cada massa e resolveu-se o sistema para n=1 e n=2 e neste último caso verificou-se que a solução complexa origina duas soluções reais iguais. Verificou-se ainda que para n massas há n modos próprios e que a solução de cada massa é combinação linear dos modos próprios. Ao determinar os modos próprios verifica-se que resultam frequências simétricas em pares e tanto as frequências positivas como as negativas definem o modo próprio. No entanto, em termos físicos desprezamos as negativas. Foram definidas as constantes multiplicativas de cada uma das frequências próprias em que i é o número da massa e j é o número da frequência. Se se quiserem um número de massas maior do que 4 é necessário definir novas constantes e seus valores. Podem ser representados os modos próprios do problema com as condições iniciais adequadas.
Pode-se  estabelecer uma analogia entre este exemplo e o caso dos osciladores acoplados visto as equações serem semelhantes visto cada massa depender também das suas vizinhas e as equações diferenciais serem da mesma forma. Isto origina tanto modos próprios como soluções semelhntes. A experiências pode complementar o exemplo 3 visto ser bastante mais fácil de realizar fisicamente.

Poderiam-se também fazer mais exemplos como por exemplo a corda com os extremos a vibrar sinusoidalmente mas devido ao pouco tempo disponível não foi possível efectuá-los.

Referências e Bibliografia

"From Calculus to Chaos", David Acheson

"Teoria Elementar de Equações Diferenciais", Luís T. Magalhâes