Transformações Conformes
e
escoamento de fluidos: aplicações.

Henrique Candeias Nº48158
Paula Vieira Nº48176
Pedro Oliveira Nº48179

Resumo:

No presente trabalho pretende-se demonstrar a aplicação de transformações conformes à resolução de problemas de escoamento de fluidos. A ideia base destas aplicações é utilizar uma transformação conforme para "mapear" uma zona do plano ( isomorfo a

), mais ou menos complicada, para uma região onde seja fácil resolver o problema ; realizando a transformação inversa obtemos a solução desejada.
Resolvemos dois problemas para fluidos incompressíveis e não viscosos: um a fluir no semiplano positivo em torno dum semidisco unitário centrado na origem e, um outro, a fluir em torno de um "aerofoil".

Fundamentos:

Antes de mais convém dizer que não pretendemos aqui demonstrar qualquer teorema, apresentando apenas os resultados que nos possam ser úteis.

Transformações Conformes:

Por definição,

é conforme se

for analítica em

e se

. Geometricamente aquilo que caracteriza uma transformação conforme é o facto de esta preservar os ângulos entre duas curvas e, localmente, rescalar vectores.

Enumeramos de seguida algumas das propriedades das transformações conformes:

Se é conforme e bijectiva, então também é conforme.

Se e são conformes e bijectivas, então é igualmente conforme e bijectiva.

Se é uma função harmónica numa região e se é analítica então a função é harmónica em.

Estas propriedades são importantes para que seja possível usar transformações conformes nas aplicações.

O teorema de mapping de Riemann afirma o seguinte:

Se é uma região simplesmente conexa tal que então existe uma transformação conforme bijectiva , onde . Para além disso, para cada , é possível encontrar um tal que e . Este é único.

Este resultado permite-nos saber que é sempre possível encontrar uma transformação conforme entre quaisquer duas regiões simplesmente conexas diferentes de .

Um outro resultado a ter em conta é que para calcularmos a transformada de uma dada região simplesmente conexa, basta verificar a sua fronteira e a transformada de um ponto do seu interior. A imagem dessa região será a zona do plano (dividido em dois pela imagem da fronteira) onde a imagem do ponto se encontra.

Mecânica de Fluidos

Se limitarmos o nosso estudo a fluidos incompressíveis e não viscosos, podemos considerar uma função em

de potencial de velocidade

cujo gradiente dá o campo de velocidades

. Esta função

tem que satisfazer a equação de Laplace, isto é, tem que ser uma equação harmónica. Logo podemos definir uma função analítica

em que

é a harmónica conjugada de

. Chamamos à função

potencial complexo. Podemos também definir uma função de velocidade complexa

. Para obtermos as componentes da velocidade em

basta extrair a parte real e a parte imaginária da sua conjugada.

Em cada ponto a velocidade é tangente às linhas de e normal às linhas de .

É possível calcular o potencial nos pontos de uma região aplicando a transformação às coordenadas para uma região onde se conheça a solução e então calcular aí o potencial. Podemos assim calcular o potencial na região usando a transformação de onde o potencial é dado por fazendo .

Exemplos:

Exemplo 1 :

Neste exemplo pretende-se estudar o comportamento de um fluido, no plano superior, em torno de um semidisco unitário e centrado na origem. Para tal vamos usar uma transformação da região em estudo

para o plano superior (

A transformação desejada é:

Podemos verificar que esta realiza a transformação entre as regiões desejadas calculando a transformada na fronteira e verificando um ponto do interior.

Verifica-se.

Se escolhermos para função de potencial:
(Verifica-se que esta função respeita as condições necessárias.)

Logo a função que dará o potencial na região H é:

Conforme foi explicado na introdução o campo de velocidades é dado por

Uma possível representação do comportamento do fluido será

Exemplo 2 :

Neste exemplo pretende-se estudar o comportamento de um fluido, em torno de um aerofoil. Para tal vamos usar uma transformação

(e sua inversa

da região em estudo (

) para o exterior do círculo de raio r e centro em z0 (

A transformação inversa desejada é:
(Esta é a transformaç~ao de Joukowski)

Os pontos onde esta transformação não é conforme são

No nosso exemplo o primeiro ponto não nos vai interessar pois este encontra-se no interior da circunferência. O segundo corresponde a um ponto onde esta intersecta a origem. Aqui como a segunda derivada já é diferente de zero os ângulos irão ser multiplicados por dois criando-se assim a extremidade angulosa do aerofoil.

Podemos verificar que esta realiza a transformação entre as regiões desejadas calculando a transformada na fronteira e verificando um ponto do interior.

Aerofoil

Verifica-se que esta transformação é adequada.

Procuremos a transformação da região em estudo para o exterior do círculo.

Como obtemos duas soluções resta descobrir qual importa estudar. Para tal avaliamos ambas e, escolhemos a que fica fora da região.

A função de potencial em torno de um círculo de raio r com o centro na origem e em que a velocidade do fluido é segundo a horizontal é

Se usarmos a mudança de coordendas seguinte temos potêncial em torno de um círculo com centro em z0 e em que a velocidade do fluido tem o ângulo

Logo a função que dará o potencial na região H é:

Para evitar que a velocidade seja infinita na singularidade

é preciso impor que ai a circulação seja zero obtendo-se para a circulação:

Em que o

corresponde ao parâmetro da circunferência correspondente ao ponto em causa, ou seja

Criamos assim as novas funções com o

já substituido

Uma possível representação do comportamento do fluido, em que se mostram linhas equipotências da parte real e imaginária do potêncial é:

Como podemos observar existem alguns problemas segundo uma linha. Tal deve-se provavelmente ao logaritmo. Uma forma alternativa de gerar esta representação é fazer o cálculo do potencial em cada ponto em torno do círculo e fazer apenas a transformação das coordenadas desse ponto. Assim evitamos o uso do inverso desta transformação.

Um caso particular -- Barra

Se a circunferência se encontrar centrada na origem e tiver raio igual ao parâmetro da transformação então a transformação dá-se para uma barra.

Uma possível representação do comportamento do fluido, em que se mostram linhas equipotências da parte real e imaginária do potêncial é:

Conclusão

Conforme se pode verificar este é um bom método para calcular o comportamento de fluidos em torno de geometrias complicadas. No entanto é preciso ter em conta que para alguns casos estte trantamento não é realista, não podendo o comportamento do fluido ser descrito por um potêncial.

Bibliografia

Basic Complex Analysis -- 2nd Edition, J. E. Marsden & M. J. Hoffman, W. H. Freeman and Company, 1987

Fluid Mechanics, Joseph H. Spurk, Springer, 1997

Elementary Fluid Dynamics, D. J. Acheson, Claredon Press, 1990

Converted by Mathematica July 19, 2001

Transformações Conformes e escoamento de fluidos: aplicações.

Henrique Candeias Nº48158 Paula Vieira Nº48176 Pedro Oliveira Nº48179