Oscilador de Van der Pol

Autores

Realizado por:Nome:Hugo Castilho

Número:48159

EMail:f48159@alunos.fisica.ist.utl.pt



Nome:Pedro Ribeiro

Número:48178

EMail:p_rib@netc.pt

Resumo do Trabalho

    Através da análise da equação diferencial que caractrisa os osciladores de Van der Pol tentámos fazer um estudo deste tipo de sistemas e suas propriedades.
    Este estudo baseia-se sobretudo na variação dos parâmetros que caracterisam o sistema bem como das suas condições iniciais.
    Para este efeito recorremos não só do estudo da evolução do sistema com o tempo mas também à análise do espaço de fases e posterior análise espectral dos dados obtidos.
    Procedeu-se também à comparação deste tipo de sistema com um sistema caótico simples, neste caso o oscilador de Duffing.
    Na análise recorreu-se principalmente à uma vertente gráfica proporcionada pelo software utilizado que se vocaciona para este tipo de estudo.

Explanação da Teoria

Método para o Sistema Periódico (Oscilador de Van der Pol)

    O sistema não linear que iremos considerar tem a intrigante propriedade, de permanecer em repouso se não for excitado, no entanto isso não acontecer independentemente do tipo de excitação este sistema acaba oscilando da mesma maneira.
    Esta equação apareceu originalmente associada a um determinado circuito eléctrico contendo um triodo e é esta valvula que leva à não linearidade do circuito.Verifica-se que esta corrente electrica x é governada pela equação de Van der Pol:
    
    onde [ é uma constante positiva.
    
    Transformando a equação acima num sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
    
    
Resolvendo este sistema calculamos não só uma solução para X como também para , facto que é bastante útil na elaboração de gráficos de fases do sistema.

Exemplo da Análise Efectuada do Oscilador para [ =1

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Cálculo da solução da equação diferencial

    O primeiro passo para a análise do sistema é a resolução da equação diferencial que o caracteriza.
    Para tal recorremos à função NSolve nativa do Mathematica. Arbitramos os valores iniciais, neste caso da posição e velocidade inicial.
    

Estas duas funções são representações numéricas para a solução da equação diferencial, sendo Y[t] a função posição e vY[t] a função velocidade.

Cálculo do periodo

Esta função calcula numéricamente 2 zeros consercutivos da função a partir do valor dado (tmin) analisando a função em intervalos dt , e a partir dos valores de tempo que anulam a função determinamos meio período.

Período calculado para as condições consideradas anteriormente.

Frequência principal

Análise do Espectro de Frequências de uma Função Periódica

Para a análise das frequências do sistema recorreu-se à Transformada Rápida de Fourier (FFT-"Fast Fourier Transform").    
Para esse efeito discretizou-se a função obtida pela resolução numérica da equação diferencial.
Assim e como para este efeito a FFT necessita de dados igualmente espaçados no tempo utilizou-se a função:

Recorrendo a uma aproximação grosseira podemos, com recurso ao gráfico encontrar uma função semelhante à analisada

assim  como os picos observados são múltiplos impares da frequència principal a frequência cai aproximadamente com multiplos inteiros de  0.1
e sendo140 um factor de conversão vem:

sendo que o factor negativo do seno foi determinado por experimentação uma vez que os valores abtidos nos graficos das frequências são os modulos dos complexos dados pela FFT.
Obtemos assim um gráfico muito semelhante ao original como se pode ver apesar da aproximação grosseira:

Análise do Grafico de Fases

A análise deste tipo de graficos permite descobrir pontos de equilibrio do sistema assim como ciclos limite, que ao que como se verifica é o que acontece no exemplo abaixo.

Método para o Sistema Caótico (Oscilador de Duffing)

Uma dos sistemas dinâmicos a exibir caos (e o que será usado na secção seguinte) é a equação:
(1)
Vamos observar como a alteração de condições iniciais altera a função, o seu espaço de fases e iremos também realizar uma análise espectral. Posteriormente comparare-mos estes resultados com os obtidos para as oscilações de Van der Pol e concluiremos sobre algumas características das oscilações.
A análise é em tudo semelhante à utilizada na secção anterior.

Exemplos de Aplicação
Análise de diferentes soluções da equação diferencial do oscilador de Van der Pol com variações nos seus parâmetros.

Definição das funções a utilizar

Resolução geral da equação diferencial para quaisquer valores iniciais e de [

Função que desenha o gráfico posição-tempo

Função que desenha o gráfico de fases

Função acha o Periodo  

Função que faz a FFT  

Função que desenha o gráfico logaritmico dos dados da FFT

Analise da Evolução do Sistema para Diferentes Condições Iniciais

Análise para [=1

Estudo do gráfico posição tempo

Nesta sucesão de graficos está patente que quais quer que sejam as condições iniciais desde que não nulas este tipo de oscilador tende sempre para um regime periódico constante, podendo no entanto este processo dar-se mais rapida ou mais lentamente dependendo dessas mesmas condições   

Estudo do gráfico de fases

Desta suceção de gráficos pode-se constatar que independentemente das condições iniciais a solução da equação tende a um regime limite.

Periodos

Podemos considerar os periodos idênticos, a única diferença dá-se para a função identicamente nula para a qual o periodo não está definido, dado pela anulação das condições iniciais embora por razões númericas apareça como 12

Análise das frequências

Analise da Evolução do Sistema para valores da constante [

Análise para = 2 , = 0

Estudo do gráfico posição tempo

Estudo do gráfico de fases

Periodos

Análise das frequências

Analise aprofundada do sistema para [ = 3

Como observado o sistema evolui para um ciclo limite quaisquer que sejam as condições iniciais dadas.

Grafico discreto de  tempo-posições-velocidades

Grafico discreto de tempo-posições-velocidades sendo as projecções os gráficos de fase, tempo-posção e tempo velocidade

Assim "sem" perda de generalidade podemos estudar o sistema para quaisquer condições iniciais fixas se se pretender estudar apenas o regime limite, pois este é atingido passado algum tempo.

O periodo de oscilação sera aproximadamente:

correspondendo a uma frequência angular principal:

Mais uma vez os graficos serão:

Considerendo uma particula animada segundo a equação de Van der Pol e com as condições iniciais acima, os gráficos seguintes podem dar uma ideia do seu comportamento.

O seguinte gráfico representa o campo vectorial da equação

Exemplos de Aplicação
Análise de diferentes soluções da equação diferencial do oscilador de Duffing com variações nos seus parâmetros.

Definição das funções a serem utilizadas

Aqui figuram as funções que vão ser utilizadas nesta secção, nomeadamente:

Esta função permite-nos fornecer os parâmetros da eqação do oscilador de Duffing e as condições iniciais, obtendo duas soluções numéricas para x e .

Esta função, que utiliza a anterior, devolve um gráfico da solução numérica para x[t].

Mais uma vez, utilizando a função Solucao, obtemos o gráfico de fases para as condições defenidas.

Variação das condições iniciais

Estas duas funções diferem apenas numa pequena variação dos valores iniciais (na ordem de 1 para 1000).

Como se pode ver, esta pequena alteração nos valores iniciais vai originar resultados muito diferentes no comportamento da função.

Espaço de Fases

Desenhemos agora o espaço de fases para os dois exemplos anteriores.

O resultado da variação das condições iniciais é também facilmente verificado olhando para o espaço de fases.

Análise Espectral

Mais uma vez, vejamos o que acontece com os dois exemplos.

    Em qualquer um deles, verificamos que o "rúido" presente na análise espectral é muito elevado. Este resultado seria de esperar num sistema caótico, já que não só não é linear como também não existe um ciclo que possa ser classificado pelas frequências próprias. Note-se que um sistema caótico não se estabiliza (não cria um padrão) com o tempo.

Conclusões

    Pela análise dos vários capitulos precedentes podem-se tirar enumeras conclusões sobre as caracteristicas e comportamento dos osciladores de Van der Pol.
    De extrema utilidade para este estudo foram sem dúvida os vários gráficos nos quais baseamos estas conclusões. Como termo de comparação para este oscilador deveras "bem comportado" foi utilizado o oscilador de Duffing cujas proprieades caóticas poem ainda mais em evidência as estranhas características do sistema em estudo.
    Pela comparação dos gráficos obtidos variando as condições iniciais conclui-se que o sistema quando é excitado i.e. quando lhe são atribuidos valores iniciais diferentes de zero tende para um regime limite, sendo este facto confirmado quer pelo estudo posição tempo quer pelo gráfico de fases. Conclui-se ainda que o tempo que o sistema leva a aproximar-se do regime oscilatório limite depende das condições iniciais. Este ciclo limite mantem-se assim inalterado  independentemente das condições iniciais.A análise espectral dos dados assim obtidos é portanto bastante semelhante  uma vez que é atingido o regime limite as frequências próprias são iguais.     
    Alterando o parâmetro [ o sistema evolui para um ciclo limite muito embora este ciclo se altere com a mudança do valor.
    Com o aumento de [ neste sistema assiste-se a um crescimento no período e uma "dilatação" na forma da onda do ciclo limite, e observa-se   uma deformação do gráfico de fase devido a um aumento da velocidade máxima atingida pelo sistema. No entanto a amplitude de oscilação do sistema mantém os mesmos limites.
    No que diz respeito à análise de frequências como a forma da onda apenas sofre uma "dilatação" com o aumento de [ o gráfico dado pela FFT é semelhante para todos os casos i.e as frequências secundárias são sempre múltiplos impares da frequência principal, apesar desta frequência de maior peso ir diminuindo com o correspondente aumento do período. No entanto o gráfico de frequências observado não verifica a múltiplicidade impar das armónicas, isto explica-se por uma desfasagem neste gráfico de -1  i.e. onde no gráfico da análise de frequências se lê 4 na realidade deve ser interpretado como 3.
    Registou-se para além de uma diminuição da frequência fundamental um aumento das contribuições das harmónicas, isto pode explicado pela forma de onda pois à medida que esta se vai "esticando" vai tendendo para uma onda quadrada que tem a mesma amplitude em todas as harmónicas.   
    Como já foi referido superfícialmente para valores de [ grandes o tempo de relaxação i.e. o tempo que o circuito leva a "descarregar" diminui apesar do periodo de oscilação aumentar. Para estes valores de [ perde-se qualquer semelhança com a harmónica simples e progressivamente nos aproximamos de uma onda quadrada.
    
    No oscilador de Duffing a variação das condições iniciais leva a curto praso a uma discrepância substâncial nas forma das soluções encontradas, facto evidênciado não só pela análise do gráfico de posições mas também do gráfico de fases, que apresentam formas distntas.
    A análise do gráfico espectral revela-se bastante infrutífera pois em qualquer das situações se verifica que o "rúido" presente na análise espectral é muito elevado. Este resultado seria de esperar num sistema caótico, devido à oscilação ser completamente aperiódica e não estabilizar num ciclo.
    
    As características caóticas do oscilador de Duffing contrastam assim com o comportamento periódico do oscilador de Van der Pol.
    Estas propriedades especiais de sistemas com ciclo limite, incomum em sistemas não lineares tornam o seu estudo bastamte interessante.

Referências e Bibliografia

Applied Mathematics for Engineers and Physicists,Pipes& Harvill
(McGraw-Hill,1970)-Capítulo 14

From Calculus to Chaos: An Intruduction to Dinamics, David Acheson
(Oxford University Press,1997)

http://www.spd.eee.stratn.ac.uk