Óptica de Fourier

Autores

LEFT

Cristina Maria da Silva - nº48150 - ccarias@gape.ist.utl.pt
João Manuel Marques Carrilho - nº48162 - carrilho@gmx.net

Objectivos deste trabalho

O seguinte estudo nasceu de uma situação prática: quere-se averiguar, para um laser com intensidade e comprimento de onda analiticamente definidos à partida, quais as alterações sofridas durante um trajecto em que se intersecta com pertubações, tais como cortes.
Impõe-se, então, um estudo da propagação da luz no espaço. Mais detalhadamente, teremos que nos debruçar sobre a função de transferência (a função que relaciona a onda definida inicialmente com aquela que chega ao plano final) e a aproximação de Fresnel ao problema em causa (uma vez que a distância do plano de saída se encontra a uma distância não muito grande do plano inicial). Os exemplos de aplicação focam sobretudo o estudo da distribuição das intensidades das funções de saída. A grande ferramenta para todo este estudo será a transformada rápida de fourier.

Explanação da Teoria

Começar-se-á por verificar a correspondência existente entre uma onda plana, com uma direcção de propagação segundo o eixo oz, e uma função espacial harmónica no plano z=0.
Seguir-se-á um breve estudo sobre análise espectral espacial, depois do que introduziremos a função de transferência e correspondente aproximação de Fresnel.

Uma onda plana, que se propague segundo oz, é definida pela equação:

Naturalmente, = (, ) corresponde ao vector de onda. Uma vez que e , em que e são as frequências espacias, a função acima,em z=0, pode ser escrita como:

Geometricamente, definimos os ângulos que esta função faz com ox e oy como o quociente entre a componente respectiva do vector de onda e este (e ).
De maneira inversa, quando uma onda plana U[x,y,z] incide num plano de transmitância complexa dada por f[x,y]=, vai-se deflectir segundo os ângulos  e . Como se pode verificar, as últimas equações enunciadas são agebricamente iguais às dos ângulos anteriores (uma vez que e , ). Por outro lado, fica definido como (como é natural, uma condição de validade para esta igualdade é que seja real), uma vez que estamos interessados em ondas que se propaguem segundo o sentido positivo do eixo oz.
Demonstra-se assim a correspondência unívoca entre uma onda plana e uma função harmónica bidimensional. O comprimento de onda da primeira vai corresponder à frequência espacial segundo o eixo ox da segunda.
Mais geralmente se f[x,y] for uma soma de funções harmónicas então

e

em que corresponde à transformada de Fourier de f[x,y].
Em traços gerais, esta função, , dar-nos-á o peso de cada frequência () na construção de f[x,y] (segundo o Teorema de Fourier qualquer função pode ser considerada como combinação linear de funções trigonométricas simples - donde se passa facilmente para a exponencial complexa).

Estamos agora interessados em saber de que modo poderemos determinar a evolução da função U[x,y,z] num intervalo de espaço, desde z=0 até z=d. Então, quereremos saber a forma das duas funções harmónicas (a de entrada e a de saída: f[x,y] em z=0 e g[x,y] em z=d), uma no plano de entrada e outra na do de saída.
Uma vez que o sistema é considerado linear e invariante em relação a translações, a evolução acima enunciada pode ser descrita pela função de transferência no espaço. Esta função corresponde ao quociente entre a função de saída e de entrada, sendo assim igual a:

Utilizando esta função, não será muito difícil atingir o proposto.
Em primeiro lugar, determinamos ], ou seja, a transformada de Fourier da função de entrada

]=

Como já foi dito, esta função expressa o peso de cada elemento na nossa função de entrada. Em seguida, multiplicaremos a função obtida pela função de transferência , ], para sabermos de que forma se alteram as componentes da função. Para traduzirmos frequências espaciais em coordenadas x, y correspontes à imagem obtida no plano, fazemos a transformação inversa (Transformada de Fourier Inversa).
A nossa função de saída pode ser assim descrita como:

g[x,y]=

No nosso caso, o problema cingia-se a um feixe de raios laser, pelo que aproximámos o feixe a um cilindro (considerámos ). A resolução encontrada tem então limites físicos, uma vez que um feixe de raios laser dispersa-se, aumentando de raio à medida que o plano de saída se afasta.

Curiosamente, acabámos por nos deparar com o efeito de Talbot (responsável pela descoberta do processo negativo/positivo, sendo conhecido como o pai da fotografia moderna) no segundo exemplo de aplicação.

Método de Implementação

    Dada a complexidade das funções de entrada escolhidas, optámos por recorrer ao algoritmo da transformada rápida de Fourier (comando Fourier no Mathematica, que recebe uma lista n-dimensional de pontos e que devolve a "transformada" respectiva).
    A peculiriedade deste algoritmo merece, então, uma atenção detalhada da nossa parte.
    Em primeiro lugar, o contra-domínio ] encontra-se desordenado.
    

Exemplos de Aplicação

Os seguintes exemplos encontram-se dentro da validade da aproximação (de Fresnel e ).

Conclusão

Começámos por definir um feixe de raios laser (de em que U é a unidade utilizada) cortado na periferia (terá, possivelmente, passado por um orifício circular) e, a partir da função por nós criada, literalmente vimos o que se passava consoante mudávamos a distância ao plano z = 0.
À medida que aumentávamos a distância apareciam bordas acinzentadas na periferia da circunferência, o que significa que o feixe perdia a homogeneidade.
Usando o mesmo modelo, experimentámos um feixe intersectado no centro por uma circunferência. Observámos, mais uma vez, o aparecimento das bandas acinzentadas (cada vez melhor definidas) já mencionadas. O modelo utilizado falha, evidentemente, para z = 1000U (observam-se quadrados), o que passamos a explicitar.
Como é natural, existem limites a partir dos quais o deixamos de obter resultados verosímeis. Propositadamente, optámos por manter estes gráficos (vide Curiosidades). Pensamos ser importante a detecção de caracteristícas que nos permitam aferir a validade das imagens obtidas, relacionando possíveis aberracções com a natureza do método.
Uma das aproximações efectuadas é, recordando, o facto de considerarmos que um feixe de raios laser é cilindríco (analiticamente, considerámos ). Assim, como já foi mencionado, as simulações de grandes distâncias estão excluídas à partida (o feixe de raios laser dispersa-se).
Por outro lado, o próprio algoritmo começa, a partir de certos intervalos, a dar sinais de incorrecção. Tal acontece quando o intervalo imposto é demasiado pequeno para a "janela" abrangida pelo sinal. Uma das soluções seria, assim, aumentar o intervalo.
Um sinal claro da inefeciência do algoritmo é o aparecimento de manchas quadradas implícitas na imagem. A explicação de tal não é muito complicada: o que acontece é que o algoritmo utilizado considera que a função imposta se encontra indefinidamente replicada para - e + ∞. Assim, o padrão relativo aos extremos do intervalo vai, também ele, ser replicado. É desta forma que aparecem quadrados na nossa imagem.
Quanto ao segundo exemplo, que consiste em fontes pontuais luminosas de natureza periódica, podemos observar que existe um padrão que se mantém, ou seja, o campo difractado é periódico. Os primeiros pontos começam a desfocar (de gráfico para gráfico)  mas ao fim de algum tempo, nomeadamente do primeiro para o último gráfico, os primeiro são como que  re-focados. O efeito descrito é conhecido como efeito de Talbot (vide Curiosidades).
Como autocrítica, pode afirmar-se que os gráficos são algo morosos, embora isso aconteça devido à sua razoável resolução. Uma solução para este problema poderia passar pela utilização do MathLink, onde estariam definidas várias funções utilizadas no nosso trabalho.
Embora o trabalho represente bastante bem o pretendido, poderia ser obvíamente melhorado, quer por uma abordagem mais abrangente de um tema como Óptica de Fourier, quer pela inovação das próprias funções contidas no programa. Há uma panóplia de novas coisas a explorar, que certamente ficarão para trabalhos futuros.

Curiosidades

Delta de Dirac

O delta de dirac funciona como "elemento neutro" das transformações de Fourier. A curiosidade reside em que este facto foi descoberto por nós através de uma análise de resultados e não de leituras paralelas.

O efeito de Talbot

Esquanto estudávamos distribuições de intensidade no segundo exemplo dos "Exemplos de Aplicação" deparámos com um facto curioso. Os pontos do primeiro gráfico tornavam-se evidentes no útimo (estavam de novo focados). Este "regresso" dos pontos é o que caracteriza o efeito de Talbot. Note-se ainda que o campo difractado é periódico.

Bibliografia

CHENG D.; “Field and Wave Electromagnetics”, 2ª edição, 1989, Addison-Wesley Publishing Company.
HECHT E.; “Optics”, 2ª edição, 1987, Addison-Wesley Publishing Company.
SALEH B. et all; “Fundamentals of Photonics”, 1991, Wiley-Interscience Publications.