Transformações Relativistas

Autoria

Daniel Lourenço
    -- nº 48152
    -- LEFT
    -- Daniel.Lourenco@gmx.net

Miguel Negrão
    -- nº 48172
    -- LEFT
    -- x.miguel@gmx.net

Resumo do trabalho

O objectivo deste trabalho é através de alguns exemplos mostrar fenómenos relativistas interessantes que explorem as diferenças entre as visões clássica e relativista.  Entre os vários fenómenos dos quais tipicamente se faz referência numa introdução à relatividade restrita decidimos focar-nos na contracção de Lorentz, Dilatação de Einstein e simulteneidade de 2 acontecimentos.

Introdução

A Teoria da Relatividade Restrita

Introdução Histórica

Nos fins do século XVII Isaac Newton criou os fundamentos da hoje conhecida Mecânica Newtoniana.
Procurando formulá-la com a mesma filosofia que Euclides na formulação da geometria Euclidiana, Newton postulou leis simples das quais era possível deduzir toda a sua teria. Estas leis são as seguintes:

1ª Lei) Lei da inércia
2ª Lei)
3ª Lei) Lei da Acção-Reacção

Newton defendia que era possível ao Homem alcançar o conhecimento exacto das coisas afirmando que na formulação da sua teoria não tinha posto hipóteses mas tinha sim feito a descrição precisa dos fenómenos mecânicos. Esta filosofia contrasta tanto com a dos antigos Gregos e com a do século XX, em que não se têm certezas, apenas modelos que se aproximam melhor ou pior ao mundo experimental.

A teoria de Newton prevaleceu acreditada pela comunidade científica até meados do século XIX maioritáriamente devido à extrema coordenação entre os resultados teóricos que dela advinham e os resultados experimentais obtidos.

O ambiente que reinava no final do século XIX é bem caracterizado pela famosa afirmação de Lord Kelvin:  " A Física é uma ciência terminada, acabada, completa. O trabalho das gerações vindouras será apenas o de acrescentar algumas casas decimais às constantes físicas conhecidas. Há apenas duas pequenas nuvens negras no horizonte, a experiência de Michelson-Morley e a catástrofe do Ultra-Violeta".

No fim do século XIX, início do século XX, deu-se uma revolução nos fundamentos da Física.
Nesta altura Maxwell acabava de descrever os fenómenos electromagnéticos e em particular a conceptualização da luz como onda electromagnética.
Os físicos da altura concluiram que, sendo a luz um fenómeno ondulatório, então teria de haver um meio de suporte a esta onda. Este meio era o chamado Éter -- relativamente a este meio (no vazio) a luz deslocar-se-ia rectilíneamente com velocidade c constante.
Houve então várias tentativas para tentar detectar o movimento da Terra através do Éter. Foram feiras várias experiências para fazer esta detecção mas todas falharam. Entre estas experiências está a famosa experiênca de Michelson-Morley feita em 1887.

A experiência de Micheson-Morley tinha básicamente o objectivo de detectar a existência de uma diferença entre as velocidades de um raio luminoso orientado segundo a direcção paralela ao movimento da Terra e outro  segundo um direcção perpendicular ao primeiro (em alguma altura do ano). Se realmente a Terra se movimenta-se relativamente ao meio suporte das ondas electromagnéticas esta diferença teria de existir. O resultado foi que as velocidades eram iguais, ou seja, tal como em todas as outras experiências, não foi possível a detecção do misterioso Éter.

Dado isto, Lorentz, de 1892 a 1909 desenvolveu uma teoria que explicava o facto de em nenhuma experiência ser detectado o movimento através do Éter. Fez isto partindo do pressuposto que corpos rígidos que se movimentam através deste meio com um certa velocidade sofrem uma contracção e que relógios nessa mesma situação sofriam um abrandamento (dilação temporal). Estas contracção e dilatação seriam tais que anulavam por completo os efeitos de viajar através do Éter. Este estudo deu origem às famosas transformações de Lorentz que eram tranformações necessárias para fazer mudanças entre referenciais de inércia tendo em conta os pressupostos de Lorentz e vão ter um papel central na Teoria da Relatividade de Einstein.

Todos estes factos levaram Einstein a propor os dois princípios de onde parte a Teoria da Relatividade Restrita que vieram mostrar que a há dois séculos instituida Mecânica Newtoniana afinal não era a descrição perfeita dos fenómeno mecânicos que Newton cria, abalando assim um dos mais sólidos pilares da Física da altura.

As transformações de Galileu

Considere-se um referencial inercial S' que se movimenta relativamente a um outro referencial S com velocidade v segundo eixo Ox (com eixo oX coincidentes),pense-se que ambos os referenciais estão em t=t'=0 quando as origens se cruzam.

Classicamente usam-se as transformação de Galileu para passar de S para S' e vice-versa. Ou seja, possuindo as coordendas de um acontecimento em S podemos calcular essas mesmas em S' e possuindo as coordenadas em S' podemos calcular as em S simplesmesmente aplicando as transformações de Galileu.

x' =      ,     y' = y    ,    z' = z    ,    t' =

x =      ,      y= y'    ,    z = z'    ,    t = t'

Estas transformações têm tudo de intuititivo e são um dos instrumentos instituido na mecânica Newtoniana. Na Mecânica Relativistas estas transformações vão ser substituidas pelas Transformações de Lorentz.

Os princípios de Einstein

Em 1905, face à total incapacidade de detectar a presença do Éter, Einstein propõe  o princípio de relatividade.

1º Axioma--Príncípio da relatividade
-- As leis da física são idênticas em todos os referenciais de inércia.

Deste primeiro axioma pode-se concluir imediatamente a homogeneidade do espaço e tempo e a isotropia do espaço, pois uma experiência física tem de ter exactamente os mesmos resultados quando feita em diferentes referenciais de inércia (para a homogeneidade do espaço basta pensar em referenciais de inércia com origens em diferentes pontos do espaço, para a homogeneidade do tempo pense-se em referenciais inerciais com momento incial (origem no eixo do tempo) diferente e para a isotropia do espaço pense-se em referenciais inerciais que são rotações uns relativamente uns aos outros).

Einstein propôs ainda um segundo princípio:

2º Axioma--Príncípio da invariância da velocidade da luz
-- Existe um referencial de inércia no qual os sinais luminosos no vácuo viajam com movimento rectilíneo uniforme com a mesma velocidade c, independentemente do movimento da fonte.

Destes dois axiomas sai imediatamente a Lei da propação da luz de Einstein:

Lei de propagação da luz de Einstein
-- Sinais luminosos no vácuo propagam-se com a mesma velocdade c em todos os momentos e em todas as direcções em todos os referenciais de inércia.

Desta maneira Einstein põe de lado o problema dos resultados experimentais que tinham sido obtidos (nomeadamente o da experiência de Michelson-Morley) sendo estes resultados consequência directa dos postulados da Relatividade Restrita. A ideia da existência de um Éter torna-se absurda: todos os referenciais inerciais têm as características que eram atribuidas ao Éter, logo não faz qualquer sentido seleccionar um deles.

As transformações de Lorentz

As transformações de Lorentz, tal como já foi dito, são as relações entre as coordenadas de um acontecimento em dois referenciais inerciais tendo em conta os pressupostos de Lorentz. Na Relatividade Restrita estas transformações dedusem-se directamente dos princípios de Einstein. A contracção e dilatação de que Lorentz falava podem-se concluir das trnsformações posteriormente.

Tendo um referencial inercial S' que se movimenta  relativamente a um outro referencial S com velocidade v segundo eixo Ox (com eixo oX coincidentes), pense-se que ambos os referenciais estão em t=t' = 0 quando as origens se cruzam (tal como está representado na figura).
Havendo um acontecimento no espaço, este vai ter em S as coordenadas (x,y,z,t) e em S' as coordenadas (x',y',z',t'). As transformações de Lorentz vão-nos permitir, conhecendo as coordenadas num dos referenciais, conhecer as coordenadas do acontecimento no outro referenial.

As transformações de Lorentz são as seguintes:

x' =      ,     y' = y    ,    z' = z    ,    t' =

Ou seja, as transformações de Lorentz são a seguinte transformação linear:

=

Sendo  β = .


Pelo primeiro princípio de Einstein, teremos obviamente as reciprocas:

x =      ,     y = y'    ,    z = z'    ,    t =

Que são também uma transformação linear:

=

Contracção de Lorentz

Pensemos que temos uma barra fixa ao eixo S' que avança com velocidade v relativamente ao referencial S tal como está representado na figura (os eixos Ox e Ox' são coincidentes).

Feita uma medição simultânea (num tempo ) das posições de A e ded B no referencial S, temos pelas transformações de Lorentz que:

' =

' =

Subtraindo as duas equações:

⇔


Para um observador no referencial S a barra parece ter um comprimento menor do que o seu comprimento no referencial de repouso, pois < 1.
Um observador em S' dirá que as medições feitas pelo observador em S não foram simultâneas. As medições pelo observador em S foram acontecimentos com coordenadas e . Aplicando as transformações de Lorentz, ficamos com:





Como , então .

Fixando a barra em S teremos então a reciproca (pelo primeiro princípio de Einstein):



A este fenómeno chama-se a contracção de Lorentz.

Dilatação de Einstein

Pensemos que temos um relógio R fixo num referencial S' (na posição que se movimenta com velocidade v realtivamente ao referencial S tal como está representado na figura. Pensando que a cada ponto de S temos um relógio fixo, vamos pensar nos relógios A e B fixos em S (nas posições e ) pelos quais o relógio R passa em e .
Para estarmos nas condições das transformações de Lorentz apresentadas vamos pensar que todos os relógios de S e o relógio R em S' começaram a contar quando as origens dos referenciais se cruzaram.

Em S' há então dois acontecimentos a registar:
-- A passagem do relógio R pelo relógio A, que é um acontecimento com coordenadas
-- A passagem do relógio R pelo relógio B, que é um acontecimento com coordenadas

Simplesmente aplicando as transformações de Lorentz ficamos com:



Subtraindo as duas equações ficamos com:



Ou seja, um observador no relógio R nota que o período de tempo que mediu é superior ao que observou nos relógios de S.

Fixando o relógio R em S teremos então a reciproca:



A este fenómeno chama-se dilatação de Einstein.

Lei da adição de velocidades

Cosidere-se dois referencias S e S' nas condições descritas no início das transformações de lorenz e uma particula P que se move com velocidade u em relação a S e u' em relação a S' . Diferenciando as equações de Lorenz.


dx =      ,     dy' = dy    ,    dz' = dz    ,   d t =


logo:

,,              

Se considerando um particula que se move com a velocidade da luz, por exemplo um fotão, no referencial S' a sua velocidade em S será:



Ou seja, se uma particula se move com a velocidade da luz num referencial de inércia irá mover-se com a velocidade da luz em qualquer referencial inercial (note-se que a conta foi feita para qualquer v). Isto justifica os resultados da experiência de Michelson-Morley

O intervalo de universo

Vimos que quando passamos de um referencial inercial para outro as coordenadas espaciais e temporais em geral não são as mesmas. Existe no entanto um grandeza que se mantêm constante num transformação de Lorenz: o intervalo de universo. Dados dois acontecimentos A e B o intervalo de universo entre eles define-se do seguinte modo:



verifica-se  

Podemos ter três tipos de pares de contecimentos : >0, =0 ou <0.

A)



O que esta desigualdade nos diz é que a distância espacial entre os dois acontecimentos é inferior à distância percorrida pela luz no espaço de tempo entre eles. Ou seja, sendo a velocidade da luz uma velocidade limite, seria ainda possível uma troca de informação entre estes dois acontecimentos.
Diz-se os acontecimentos formam um par do género tempo. Dois acontecimentos nestas condições podem ter uma relação causal e a ordem de sucessão de A e B é a mesma em todos os referenciais de inércia.

B)



O que esta desigualdade nos diz é que da distância espacial entre os dois acontecimentos é exactamente a mesma distância que a luz percorre no espaço de tempo entre eles.
Se então existe um raio luminoso que liga o acontecimento A ao acontecimento  B (note-se que esta ligação é no espaço e no tempo).

c)



O que esta deseigualdade nos diz é que a distância espacial entre os dois acontecimentos é superior à distância percorrida pela luz no intervalo de tempo entre eles. Sendo a c uma velocidade limite é então impossível um troca de informação entre os dois acontecimentos.

Diz-se que os acontecimentos são um par do género espaço e verifica-se que existem referenciais em que a ordem dos acontecimentos é inversa. Admitindo que a velocidade da luz é a velocidade limite de um particula então não pode haver relação causal entre os 2 acontecimentos.

Implementação do método

Inicialização

Inicializamos a variável c que guarda a velocidade da luz

Transformações de Lorentz

A função TL recebe a velocidade  v do referencial S' em relação a S e devolve a matriz que dá a transformação de Lorentz do referencial S para o S'.
Esta função funciona apenas para acontecimentos em duas dimensões espaciais e uma temporal (já que para os nossos exemplos nunca vai ser necessário mais do que isso)

A função TL' recebe a velocidade v do referencial S' em relação a S e devolve a matriz que dá a transformação de Lorentz do referencial S' para o S.
Esta função funciona apenas para acontecimentos em duas dimensões espaciais e uma temporal (já que para os nossos exemplos nunca vai ser necessário mais do que isso)

Lei da adição das velocidades

A função  u recebe a velocidade v do referencial S' em relação a S e a velocidade de uma particula p em relação S' e devolve a velocidade da particula em relação a S.

Intervalo de universo

A função recebe dois vectores com a componente {x, t}, {x, y, t} ou {x, y, z, t} sendo estes referentes a dois acontecimentos diferentes e devolve o intervalo de universo que os separa.

Exemplos

1- Lei da adição de velocidades

Considerando um referencial S' que se move com velocidade v  em relação a S . Vamos traçar o gráfico que representa a velocidade de um particula em relação a S quando a sua velocidade em relação a S' varia de -c a c e velocidade do referencial também varia na animação de -c a c.

Note-se qualquer que seja a velocidade do referencial S' quando a velocidade da particula é ±c a sua velocidade em S também é ± c.


Apesar da adição de velocidades não estar definida em v = c e u' = -c o seu limite é c:

Apesar da adição de velocidades não estar definida em v = -c e u' = c o seu limite é -c:        

2- Contracção de Lorentz e dilatação de Einstein

Enunciado

Pensemos que temos um comboio com dois módulos unidos por um cabo que se movimenta relativamente a duas estações fixas à Terra com velocidade v. Um observador no referencial da Terra mede que o comboio tem exactamente um comprimento igual à distância entre as duas estações na Terra. Desta forma, do ponto de vista de um observador na Terra, quando o módulo da frente do comboio passa na estação B, o módulo de trás passa na estação A (tal compo está representado na figura).
Pensemos que há um relógio em cada uma das estações e que há um relógio em cada um dos módulos do comboio.
Chamemos ao referencial da Terra S e ao do comboio S'. O referencial da Terra tem origem e A e o referencial do comboio tem origem no módulo posterior. Ambos os referenciais começam a contar o tempo quando as origens se cruzam.

Dados do problema

Velocidade do comboio (v)---  0.7 c
Comprimento do comboio medido no referencial S  ( l )--- 1.5 × m
Posição da estação A no referencial S( )--- 0 m
Posição da estação B no referencial S ( ) --- m
Distância entre as estações A e B em S (L) ---

Acontecimentos a analizar:

Acontecimento 0 -- Passagem do módulo posterior do comboio na estação A.
Acontecimento A -- Passagem do módulo anterior do comboio na estação A.
Acontecimento B -- Passagem do módulo posterior do comboio na estação B.

Análise dos dados

O momento t em que a parte posterior do comboio atinge a estação B  em S (e consequentemente quando a parte anterior do comboio atinge a posição B) é óbviamente dado por (pois genéricamente num movimento rectilíneo uniforme ):

t é, como é óbvio,o intervalo de tempo entre o Acontecimento 0 e Acontecimento B e medido no referencial S. (sendo os acontecimentos A e B simultâneos entâo t é também o período de tempo entre o Acontecimento 0 e o Acontecimento A medido em S)

Os Acontecimento 0, A e B foram acontecimentos com coordenadas   e em S. Estas coordenadas são (x , y , t), duas espaciais e uma temporal (considere-se que y = 0 para ambos os acontecimentos).

Façamos a transformação de Lorentz para obter as coordenadas destes vários acontecimentos no referencial S'.

Vamos analizar o que lê nos relógios um observador na origem do referencial S (A):

Este observador vai estar presente primeiro no Acontecimento 0 (quando a parte da frente do comboio chega a A) e depois no acontecimento A (quando a parte de trás do comboio chega a A)

O intervalo de tempo que ele mede no seu relógio entre o Acontecimento 0 e o Acontecimento A é .

O intervalo de tempo de diferença que este observador vê entre os dois relógios das duas partes do comboio que passam por ele é ':

Temos aqui um caso típico de dilatação de Einstein. Um relógio fixo em S, que encontra dois relógios diferentes em S' verifica que o intervalo de tempo medido no seu relógio é superorior ao intervalo de tempo entre os dois relógios que encontrou.

Verifiquemos a fórmula Δt = Δt'

Vamos analizar o que lê nos relógios um observador na origem de S' (parte da frente do comoboio):

Este observador vai estar presente primeiro no Acontecimento 0 (quando a parte da frente do comboio chega a A) e depois no acontecimento B (quando a parte da frente do comboio chega a B)

O intervalo de tempo que ele mede no seu relógio entre o Acontecimento 0 e o Acontecimento B é .

O intervalo de tempo de diferença que este observador vê entre os dois relógios das duas estações que passam por ele é ':

Aqui temos de novo um caso de contracção de Lorentz e ainda uma situação em que a reciprocidade da relatividade restrita é posta em evidência.
Aqui um relógio fixo em S', que encontra dois relógios diferentes em S verifica um atraso nos relógios de S entre os dois encontros.

Verifiquemos então que Δt '= Δt

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Note-se que os acontecimentos A e B em S são simultâneos ( já que o comboio tem o mesmo comprimento que L = B - A ) mas que em S' já não o são. Isto pode-se ver pelos valores de e :
-- Se em S o comboio tem um comprimento l (estando a sofrer a contracção de Lorentz), em S' terá um comprimento (*). Por outro lado, pelo efeito da contracção de Lorentz, em S' a distância entre A e B, L', é dada por L' =L (**). Como L = l , substituindo (*) em (**) temos que   .
Conclui-se então que em S' a dimensão do comboio (l') é maior do que o espaçamento entre as estações (L'), logo o momento em que o módulo da frente chega a B não pode ser nunca o mesmo em que o módulo anterior chega a A.

Calculemos estas várias grandezas para o noso exemplo específico:

Função DesenhaComboio

A função DesenhaComboio é apenas um acessório que recebendo a posição das duas posições dos módulos do comboio e das posições das estações, devolve um gráfico com o desenho.
A função DesenhaComboio recebe quatro números reais que são pos. da parte anterior do comboio, pos. da parte posterior do comboio, posição da estação A e posição da estação B. Recebe também o título a pôr no gráfico.

Vejamos agora o que vê um observador em S

O movimento da parte frontal do comboio, quando visto em S, é dado pela seguinte função p[ τ ]:

Vejamos agora o que vê um observador em S'

O movimento da estação A é dado pela função p' [ τ ]

3- Análise do movimento de uma Barra

Inicializações

Análise do movimento de uma Barra

Sejam dois referenciais S e S' , S' movendo-se com velocidade v em relação a S.  Uma barra move-se em S' , no plano O'x'y' mantendo-se paralela a O'x', com velocidade . Interessa determinar se no referencial a barra se matêm na horizontal ou se por outro lado faz um certo ângulo α com a horizontal. Em S' , e são constantes e e são:     

4 - Simultaneidade dos acontecimentos

Inicializações

Acontecimentos em S:

Intervalo de universo dos acontecimentos:

Conclui-se que estes dois acontecimentos são do tipo espaço, ou seja não têm relação causal entre si. Tal faz sentido pois se as luzes se ligam ao mesmo tempo , para que um acontecimento influencia-se o outro a informação teria que se propagar instantaneamete entre A e B.

Vamos agora procurar referenciais em que A acontece antes de B e vice-versa.

Para exemplificar este fenómeno iremos criar um função que desenha uma animação do aparecimento das duas luzes num referencial S' que se move com velocidade v em relação em S.  A Função Luzes recebe a velocidade v do referencial S' relativamente a S e o tempo t' em que queremos desenhar as luzes.

Função Luzes

Referencial S' que se move a 0.9 c

Seja S' um referencial inercial a movimentar-se com velocidade 0.9c para a direita. Pelas transformações de Lorentz:

Como podemos ver, para um observador neste referencial S' a luz B liga-se primeiro que  a luz A  

Acontecimentos A e B em S'

Verifica-se que o intervalo de universo é invariante numa transformação de Lorentz.

Animação temporal das luzes no referencial S':

Referencial S' que se move a -0.9 c

Seja S' um referencial inercial a movimentar-se com velocidade 0.9c para a direita. Pelas transformações de Lorentz:

Como podemos ver, para um observador neste referencial S' a luz A liga-se primeiro que  a luz B .

Acontecimentos A e B em S'

Verifica-se que o intervalo de universo é invariante numa transformação de Lorentz.

Animação temporal das luzes no referencial S':

Conclusão

Como vimos nos exemplos apresentados a relatividade é rica em ideias "exóticas" e à primeira-vista contra-intuitivas.

Uma das diferenças entre a mecânica clássica e a relativista é que na últma o tempo não é absoluto podendo diferir de referencial para referencial . 2 acontecimentos que são simultâneos num referencial poderão não o ser noutro. Se bem que a simultaneadade passa ser relativa, o conceito de causalidade preserva-se. Se num dado referencial 2 acontecimentos estão separados por um intevalo de universo positivo então a ordem pelos quais ocorrem é a mesma em todos os referenciais. Se por outro lado o  intervalo de universo que os separa é negativo existem sempre referenciais em que a ordem de ocorrência dos acontecimentos é inversa uma da outra. Mas neste caso não existe nenhuma relação de causalidade entre eles pois nenhum raio de luz os une e deste modo não pode ser trocada informação entre eles.

Em mecância clássica as distâncias são preservadas quando mudamos de referencial, mas tal não acontece na relativista onde se verifica a contracção de Lorentz. A grandeza que permanece invariante de referencial para referencial na relatividade é o intervalo de universo.
Para que os fenómenos relavistas mantenham a sua coerência é necessário ter muito cuidado na análise feita, em particular é imprescivel ter em conta quais são os acontecimentos que serão analisados e do ponto de vista de que referencial.

A falta deste cuidado pode muitas vezes levar a contradicções que não existêm. Por exemplo, no segundo exemplo que demos (o do comboio) alguém poderia dizer que a teoria entrou em contradicção pois o tempo passa mais devagar na Terra do que no comboio e por outro lado passa mais devagar do comboio do que na Terra. Ora, logo à partida podemos ver que esta análise é totalmente desprovida de rigor já que o comentário não especifica minimamente quais os acontecimentos que estão a ser analizados.O que acontece é que um observador fixo na Terra detecta um atraso ao encontrar dois relógios no comboio, e como é óbvio, um observador fixo no comboio detecta um atraso ao encontrar dois relógios na Terra. São duas situações perfeitamente distintas e o paralelo feito pelo comentário não faz então qualquer sentido. Tal como vimos neste exemplo, os efeitos da contracção de Lorentz unidos aos da dilatação de Einstein unem-se de forma a que nunca haja uma perda de coerência (o que não quer dizer que não seja por vezes algo confuso).

Referências e Bibliografia

- Ray D' Inverno,  Introducing Einstein's relativity
- João Resina Rodrigues, Introdução à toria da relatividade restrita
- Wolfgang Rindler, Introduction to special relativity
- Taylor /Wheeler, Spacetime Physics
- James Gleick, Caos -- A construção de uma nova ciência