•Solução-1

A transformação indicada de ÷µ pode ser encarada como uma transformação do espaço projectivo ÷³ _ 1 = {ζ _ x = ⌈ x ⌉, x ∈ ÷µ} 1, associada a uma transformação linear A = ( α β ) γ δ de ÷µ^2 e uma homotetia η _ A[x] = 1/(x γ + δ)  de ÷µ.  
Assim, podemos escrever  Π _ A[x] = η _ A [ x ]    π _ 1 o A [ζ _ x] onde π _ 1é a projecção da 1ª componente dum vector de ÷µ^2.

Então a distância entre dois pontos na recta transformada é  x _ 2^' - x _ 1^' = (x _ 2 α + β)/(x _ 2 γ + δ) - (x _ 1 α + β)/(x _ 1 γ + δ) = (α δ - β γ)/(λ _ A[x _ 1] λ _ A[x _ 2]) (x _ 2 - x _ 1) onde pusemos λ _ A[x] = x γ + δ . Isto significa  que

k^' = (P _ 1^' P _ 2^' : P _ 3^' P _ 2^')/(P _ 1^' P _ 4^' : P _ 3^' P _ 4^') = (((α δ - β γ)/(λ _ A[x _ 1] λ _ A[x _ 2]) (x _ 2 - x _ 1))/((α δ - β γ)/(λ _ A[x _ 2] λ _ A[x _ 3]) (x _ 2 - x _ 3))) (((α δ - β γ)/(λ _ A[x _ 3] λ _ A[x _ 4]) (x _ 4 - x _ 3))/((α δ - β γ)/(λ _ A[x _ 1] λ _ A[x _ 4]) (x _ 4 - x _ 1))) = (x _ 2 - x _ 1)/(x _ 2 - x _ 3) (x _ 4 - x _ 3)/(x _ 4 - x _ 1) = k

A composição de transformações projectivas é

Π _ A^'[Π _ A[x]] = (((x α + β) α^')/(x γ + δ) + β^')/(((x α + β) γ^')/(x γ + δ) + δ^') = (x (α α^' + γ β^') + (β α^' + δ β^'))/(x (α γ^' + γ δ^') + (β γ^' + δ δ^'))

que podemos ver que é da forma Π _ (A^' A)[x] já que ( ' ' ) . ( α β ) == ( ' ' ' ' ) α β α α + γ β β α + δ β γ δ ' ' ' ' ' ' γ δ α γ + γ δ β γ + δ δ.
Por isso a primeira condição de grupo está verificada: Π _ A^' o Π _ A = Π _ (A^' A).  
A existência de um elemento neutro Π _ E com E = (1 0) 0 1fica assim verificada  também: Π _ E o Π _ A = Π _ (E . A) = Π _ A.
A associatividade fica garantida pela associatividade do produto de matrizes.
A existência de inverso é garantida pela condição αδ - βγ ≡ det[A] != 0. Por isso, Π _ A^(-1)[x] = Π _ A^(-1)[x] = -((x δ - β)/(x γ - α))

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