4ª Aula Prática de TGF
LEFT-1° Semestre 2002/2003

Problema-1

Considere o grupo G de transformações  da recta real ÷µ consituído por:
    i)    operações  que translacção da origem.
    ii)    operações  de mudança de escala.
    iii)  operações  de reflexão  relativamente à origem.
Verifique se G é um grupo de Lie e construa representações de dimensão 1,2 e 3. Determine medidas de Haar invariantes à esquerda e à direita e verifique se o grupo é unimodular.

Problema-2

Construa medidas de Haar para GL _ 2(÷µ) e verifique se este grupo é unimodular.

Problema-3

Mostre que qualquer elemento de g ∈ SU _ 2 se pode escrever como g = α _ o σ _ o + i Underoverscript[∑, κ = 1, arg3] α _ κ σ _ κ onde σ _ o = Id, σ _ κ forma uma base da respectiva álgebra de Lie e α _ o^2 + α _ 1^2 + α _ 2^2 + α _ 3^2 = 1 com α _ i ∈ ÷µ.  

Problema-4

Determine a equação que os elementos g de SU _ (1, 1), subgrupo de SL _ 2(÷¦), devem satisfazer e determine uma forma de escrever os seus elementos em termos de parâmetros β _ inuma base adequada de elementos σ _ ida álgebra de Lie respectiva. Faça o mesmo para o subgrupo SL _ 2(÷µ) de SL _ 2(÷¦).

Problema-5

Represente as equações canónicas da mecânica clássica (∂ ! . ) ---------- = -p ∂ q k k ∂ ! . ---------- = q ∂ p k k, k = 1, 2, ..., n onde ! (q _ k, p _ k) é o hamiltoneano dum sistema clássico, num espaço de fase ÷µ^(2 n) com coordenadas (x = q ) k k x = p k + n k . Determine o grupo de simetrias máximo das equações canónicas e mostre que a evolução das variáveis canónicas é expresso por grupos-a-um-parâmetro de transformações simpléticas.

Problema-6

Mostre que o grupo de Lie associado às relações de comutação canónicas  da mecânica quântica tem a seguinte lei de composição:

(öý, öþ, r) (öú, öû, s) = (öý + öú, öþ + öû, e^(-i öþ . öú) rs)

com öý, öþ, öú, öû ∈ ÷µ^n e r, s ∈ S^1, e que é nilpotente.

Converted by Mathematica  (December 7, 2002)