1ª Série de TGF
LEFT-1° Semestre 2002/2003

Problema 1.1

A molécula de metano (Subscript[CH, 4])tem as simetrias de um tetraedro regular. Determine e classifique os elementos do grupo de simetrias discreto do tetraedro em termos de rotações em torno de eixos e reflexões em planos de simetria. Calcule as suas classes de conjugação e determine os seus subgrupos. Verifique se existem subgrupos invariantes, e se o grupo é um produto directo ou semi-directo  de subgrupos  seus.

Solução 1.1

Simetrias de (Subscript[T, d])

O tetraedro possui  as seguintes simetrias, para além da transformação idêntica e:

6 simetrias de reflexão \(TraditionalForm\`{π\_ab, π\_ac, π\_ad, π\_bc, π\_bd, π\_cd}\) de ordem 2

constituídas  por reflexões em planos bissectores dos diedros formados pelas faces, cada um passando pela aresta que o indexa e perpendicularmente à aresta oposta. Estes elementos coincidem com os seus inversos porque (Subscript[π, α])(β^2) = e.

3 simetrias de rotação {({{(Subscript[σ, ab]^cd),, (Subscript[σ, ac]^bd),, (Subscript[σ, ad]^bc)}})} de ordem 2

constituídas por rotações de π ∼ 180  ° em torno de eixos passando pelo centro e perpendiculares a pares de arestas opostas (Subscript[e, ab]^cd)⊥{ab, cd} , (Subscript[e, ac]^bd)⊥{ac, bd}, (Subscript[e, ad]^bc)⊥{ad,  bc}. Estes elementos coincidem com os seus inversos.

({{((((Subscript[σ, ab]^cd)))^(-1))=(Subscript[σ, ab]^cd)}, {((((Subscript[σ, ac]^(bd))))^(-1))=(Subscript[σ, ac]^(bd))}, {((((Subscript[σ, ad]^(bc))))^(-1))=(Subscript[σ, ad]^(bc))}})

É fácil de ver que  \(\(σ\_αβ\%γδ\) \(σ\_αδ\%βγ\) σ\_αγ\%βδ\)=e e que  \(TraditionalForm\`\(σ\_αβ\%γδ\) π\_αβ = \(\(π\_αβ\) σ\_αβ\%γδ = π\_γδ\)\)  e  \(TraditionalForm\`\(σ\_αβ\%γδ\) π\_γδ = \(\(π\_γδ\) σ\_αβ\%γδ = π\_αβ\)\).

4 simetrias de rotação \(TraditionalForm\`{ρ\_a, \ ρ\_b, \ ρ\_c, \ ρ\_d}\) de ordem 3,  e 4 inversas  respectivas  ((Subscript[ρ, a])^(-1)) = ((Subscript[ρ, α])^2)

constituídas por rotações de ((2  π)/3) ∼ 120  ° em torno de eixos passando por cada vértice e o centro de cada face. Os inversos destes elementos são os seus quadrados

({{((((Subscript[ρ, a])))^(-1)) = ((Subscript[ρ, a])^2)}, {((((Subscript[ρ, b])))^(-1))=((Subscript[ρ, b])^2)}, {((((Subscript[ρ, c])))^(-1))=((Subscript[ρ, c])^2)}, {((((Subscript[ρ, d])))^(-1))=((Subscript[ρ, d])^2)}})

Embora mais difícil de ver, os produtos \(TraditionalForm\`\(ρ\_α\) \(ρ\_β\) ρ\_γ = e\) se (αβγ) percorrer os vértices de uma face no sentido directo, e \(TraditionalForm\`\(ρ\_α\) \(ρ\_β\) ρ\_γ = σ\_αγ\%βδ\)  se (αβγ) percorrer os vértices de uma face no sentido retrógrado.

3 simetrias de rotação-reflexão {({{(Subscript[η, ab]^cd),, \(\(η\_ac\%bd\^\)\(,\)\), \(η\_ad\%bc\^\)}})} de ordem 4, e 3 respectivas inversas \(TraditionalForm\`\((η\_αβ\%γδ)\)\^\(-1\) = \((η\_αβ\%γδ)\)\^3\)

constituídos por rotações de ((2  π)/4) ∼ 90  ° em torno dum dos eixos (Subscript[e, ab]^cd),({{(Subscript[e, ac]^bd),, (Subscript[e, ad]^bc)}}) seguidos de uma reflexão no plano que passa pelo centro do tetraedro e é perpendicular ao eixo de rotação. É fácil de ver que cada uma destas simetrias repetida duas vezes dá uma rotação ordinária \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\)  de π em torno do respectivo eixo, e repetida quatro vezes dá a identidade. Os inversos destes elementos são os seus cubos.

({{({{(Subscript[σ, ab]^(cd))=((((Subscript[η, ab]^cd)))^2)}, {(Subscript[σ, ac]^(bd))=((((Subscript[η, ac]^bd)))^2)}, {(Subscript[σ, ad]^(bc))=((((Subscript[η, ad]^bc)))^2)}})}, {((((Subscript[η, ab]^cd)))^(-1))=((((Subscript[η, ab]^cd)))^3)}, {((((Subscript[η, ac]^bd)))^(-1)) = ((((Subscript[η, ac]^bd)))^3)}, {((((Subscript[η, ad]^bc)))^(-1)) = ((((Subscript[η, ad]^bc)))^3)}})

Tem ao todo 24 simetrias.  Convém reparar que a identificação destas simetrias é fixa, i.e. embora as etiquetas {a, b, c, d} mudem de sítio, as simetrias correspondem ao eixos definidos com as etiquetas na posição inicial!

Correspondência bijectiva com  (Subscript[𝒮, 4])

A cardinalidade do grupo (Subscript[T, d]) é assim 1 + 3 + 2×4 + 6 + 2×3 = 24.  Isto é o mesmo que a cardinalidade de (Subscript[𝒮, 4]),  e de facto podemos em princípio tentar identificar os dois grupos.

Assim sendo, podemos começar por identificar as 6 simetrias de reflexão (Subscript[π, αβ])como as transposições que deixam fixos α e β, i.e. associando lexicográficamente {a, b, c, d} com {1, 2, 3, 4},

({{\(π\_ab\%\), ↔, (1) (2) (34)}, {\(π\_ac\%\), ↔, (1) (3) (24)}, {\(π\_ad\%\), ↔, (1) (4) (23)}, {\(π\_bc\%\), ↔, (2) (3) (14)}, {\(π\_bd\%\), ↔, (2) (4) (13)}, {\(π\_cd\%\), ↔, (3) (4) (12)}})

De seguida, os restantes elementos de ordem 2, as simetrias de rotação (Subscript[σ, αβ]), podem ser associadas a pares de transposições dos vértices que definem os eixos de rotação, i.e.

({{(Subscript[σ, ab]^(cd)), ↔, (12) (34)}, {(Subscript[σ, ac]^(bd)), ↔, (13) (24)}, {(Subscript[σ, ad]^(bc)), ↔, (14) (23)}})

As simetrias de rotação (Subscript[ρ, α])são de ordem 3  e portanto devem ser  3-ciclos deixando fixo o vértice que define o eixo da simetria.

({{({{\(ρ\_a\%\), ↔, (1), (234)}, {\(ρ\_b\%\), ↔, (2), (143)}, {\(ρ\_c\%\), ↔, (3), (124)}, {\(ρ\_d\%\), ↔, (4), (132)}}), ⟹ , ({{(Subscript[ρ, a]^(-1)), ↔, (1), (243)}, {(Subscript[ρ, b]^(-1)), ↔, (2), (134)}, {(Subscript[ρ, c]^(-1)), ↔, (3), (142)}, {(Subscript[ρ, d]^(-1)), ↔, (4), (123)}})}})

Finalmente, as simetrias de rotação-reflexão (Subscript[η, αβ]) de ordem 4 identificam-se com 4-ciclos da seguinte forma:

({{({{(Subscript[η, ab]^cd), ↔, (1423)}, {\(η\_ac\%bd\^\), ↔, (1234)}, {\(η\_ad\%bc\^\), ↔, (1342)}}), ({{⟹, ({{((((Subscript[η, ab]^cd)))^2), ↔, (12) (34)}, {((((Subscript[η, ac]^bd)))^2), ↔, (13) (24)}, {((((Subscript[η, ad]^bc)))^2), ↔, (14) (23)}})}}), ⟹, ({{((((Subscript[η, ab]^cd)))^(-1)), ↔, (1324)}, {((((Subscript[η, ac]^bd)))^(-1)), ↔, (1432)}, {((((Subscript[η, ad]^bc)))^(-1)), ↔, (1243)}})}})

Isomorfismo com (Subscript[𝒮, 4])

Feitas estas identificações, vamos mostrar que (Subscript[T, d]) ≃ (Subscript[𝒮, 4]). Para isso, basta encontrar um isomorfismo entre os geradores.  Note-se que (Subscript[𝒮, n]) pode ser gerado a partir de uma base com duas permutações apenas (uma transposição (12) e um n-ciclo (123  …n)), mas em geral usa-se uma base com n - 1 transposições adjacentes. No caso de (Subscript[𝒮, 4])um conjunto (não mínimo) de geradores são as transposições (12), (23), (34). Para provar o isomorfismo indicado, teremos que mostrar que, por exemplo, \(π\_cd\%\),({{\(\(π\_ad\%\)\(,\)\), \(π\_ab\%\)}}) geram todos os elementos de (Subscript[T, d]) e que a correspondência com as permutações indicadas preserva o produto entre geradores. Os produtos relevantes são:

({{\(\(π\_ad\) π\_ab = \(\((\(π\_ab\) π\_ad)\)\^\(-1\) = ρ\_a\)\)}, {\(\(π\_ad\) π\_cd = \(\((\(π\_cd\) π\_ad)\)\^\(-1\) = ρ\_\(\(d\)\(\ \ \)\)\)\)}, {\(\(π\_ab\) π\_cd = \(\(π\_cd\) π\_ab = σ\_ab\%cd\)\)}})

Por exemplo \(TraditionalForm\`\(π\_cd\%\) π\_ad\%\) é uma simetria que fixa apenas d, donde só pode ser  \(TraditionalForm\`ρ\_d\%\) ou ((((Subscript[ρ, d])))^(-1)). A ordem aqui é importante, e de facto ({{\(\(π\_cd\%\) π\_ad = ρ\_d\%\(-1\)\), ↔, (12) (23) = (123)}}) enquanto (Subscript[π, ad])({{\(π\_cd = ρ\_d\%\), ↔, (23) (12) = (132)}}) .

Produtos de dois elementos \(TraditionalForm\`\(π\_αβ\) π\_γδ\) sem repetição nos índices  trocam pares de vértices disjuntos, por isso devem ser do tipo (Subscript[σ, αβ]^(γδ)).   Assim temos efectivamente ({{\(\(π\_ab\) π\_cd = \(\(π\_cd\%\) π\_ab = σ\_ab\%cd\)\), ↔, (12) (34)}})  já que a ordem é irrelevante aqui.

Tendo provado que a correspondência com (Subscript[𝒮, 4]) preserva o produto entre  \(π\_cd\%\),({{\(\(π\_ad\%\)\(,\)\), \(π\_ab\%\)}})  falta verificar se estes são de facto geradores de (Subscript[T, d]), i.e. todos os elementos de (Subscript[T, d]) devem ser produtos de cópias destes três.

Comecemos por notar que (Subscript[π, ad]) troca vértices (b ↔ c) ficando (Subscript[a, a]) (Subscript[b, c]) (Subscript[c, b]) (Subscript[d, d]), seguido de (Subscript[π, ab])que troca vértices (d ↔ c) ficando (Subscript[a, a]) (Subscript[b, d]) (Subscript[c, b]) (Subscript[d, c])e seguido de (Subscript[π, ad]) (b ↔ c) deixa (Subscript[a, a]) (Subscript[b, d]) (Subscript[c, c]) (Subscript[d, b]), i.e.  a e o c ficam invariantes, por isso deve ser \(TraditionalForm\`π\_ac = \(π\_ad\%\) \(π\_ab\%\) π\_ad\%\). De forma idêntica  \(TraditionalForm\`π\_bd = \(π\_cd\%\) \(π\_ad\%\) π\_cd\%\)  e  \(TraditionalForm\`π\_bc = \(π\_ab\) \(π\_bd\) π\_ab\), pelo que todas as reflexões com dois vértices fixos são produtos desta base de (Subscript[π, α])β.

Para as rotações (Subscript[ρ, α]) onde fica um vértice fixo, é fácil dever que  ρα=(Subscript[π, α])β (Subscript[π, α])γ se β -> γ fôr uma rotação directa da face oposta a α, e os correspondentes inversos para rotações retrógradas. Por exemplo:

({{(Subscript[π, ab]) (Subscript[π, ac]) = (Subscript[ρ, a]), ↔, (34) (24) = (234)}, {(Subscript[π, bc]) (Subscript[π, ba]) = (Subscript[ρ, b]), ↔, (14) (34) = (143)}, {(Subscript[π, cb]) (Subscript[π, cd]) = (Subscript[ρ, c]), ↔, (14) (12) = (241)}, {(Subscript[π, da]) (Subscript[π, dc]) = (Subscript[ρ, d]), ↔, (23) (12) = (132)}})

Quanto às rotações \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\) existem 3 coincidentes com as suas inversas, e são todas geradas por produtos de pares \(TraditionalForm\`\(π\_αβ\) π\_γδ\) quando αβ é disjunto de γδ.

Quaisquer produtos de três reflexões diferentes são do tipo \(TraditionalForm\`\(π\_αβ\) \(π\_γδ\) π\_κτ\) e têm dois índices repetidos em pares diferentes (só há 4 vértices): por exemplo \(TraditionalForm\`\(π\_αβ\) \(π\_αγ\) π\_βδ\) ou \(TraditionalForm\`\(π\_βδ\) \(π\_αδ\) π\_αγ\). Vemos portanto que são da forma (Subscript[ρ, α]) (Subscript[π, β])δ, (Subscript[π, β])δ (Subscript[ρ, α])ou os seus inversos. É fácil de ver que esta sequência de simetrias equivale a um \(TraditionalForm\`η\_αβ\%γδ\) (ou ao seu inverso) e qualquer simetria destas se escreve nesta forma. Tomemos (Subscript[π, bc]) (Subscript[ρ, a])por exemplo:  (Subscript[ρ, a]) começa por fixar a e rodar  b, c, d ficando (Subscript[a, a]) (Subscript[b, c]) (Subscript[c, d]) (Subscript[d, b]) e a seguir (Subscript[π, bc]) (a ↔ d) permuta c (que está na posição original de d) com a ficando (Subscript[a, d]) (Subscript[b, c]) (Subscript[c, a]) (Subscript[d, b]). Esta configuração corresponde a (Subscript[η, ab]^cd).

Na correspondência das simetrias ηαβcom 4-ciclos, que se podem decompor num produto de transposições adequadas, confirma-se que por exemplo ({{(Subscript[η, ab]^cd)=\(π\_bc\%\)πac\(π\_ad\%\), ↔, (14) (24) (23)}})=(1423)  e de forma similar para os outros elementos, como

({{(Subscript[η, ab]^cd)=\(π\_bc\%\)πac\(π\_ad\%\), ↔, \(\((14)\) \((24)\) \((23)\) = \((1423)\)\)}, {\(η\_ac\%bd = \(π\_cd\%\) \(π\_ad\%\) π\_ab\%\), ↔, \(\((12)\) \((23)\) \((34)\) = \((1234)\)\)}, {\(η\_ad\%bc = \(π\_bd\%\) \(π\_ab\%\) π\_ac\%\), ↔, \(\((13)\) \((34)\) \((24)\) = \((1342)\)\)}})

Classes de Conjugação de (Subscript[T, d])

Com isto mostrámos que as classes de conjugação de (Subscript[T, d]) devem ser as mesmas que em (Subscript[𝒮, 4]),  i.e.

({{(Subscript[𝒞, 1]) = {e}, (Subscript[𝒸, 1]) = 1}, {(Subscript[𝒞, 2])={παβ}, (Subscript[𝒸, 2]) = 
                6}, {(Subscript[𝒞, 3])={(Subscript[σ, αβ]^(γδ))}, (Subscript[𝒸, 3]) = 3}, {(Subscript[𝒞, 4])={ρα}, (Subscript[𝒸, 4]) = 8}, {(Subscript[𝒞, 5])={ηαβ}, (Subscript[𝒸, 5]) = 
                6}})

Subgrupos de (Subscript[T, d])

A determinação de subgrupos pode ser feita olhando para os vários índices possíveis. A ordem dum subgrupo deve ser divisora da ordem de (Subscript[T, d]). Podemos em princípio ter subgrupos próprios de ordem 12 (índice=2), 8 (índice=3), 6 (índice=4), 4, 3, 2(índice=12).

9 de Indice 12

Os subgrupos de ordem 2 são formados pela identidade e um elemento cíclico de ordem 2. Estes são os 9 subgrupos gerados por cada elemento em {πab,πac,πad,πbc,πbd,πcd,({{(Subscript[σ, ab]^(cd)),, (Subscript[σ, ac]^(bd)),, (Subscript[σ, ad]^(bc))}})}. Em particular os \(TraditionalForm\`H\_αβ = {e, π\_αβ}\) são grupos de estacionaridade de dois vértices.

4 de Indice 8

Os 4 subgrupos cíclicos de ordem 3 são gerados por cada um dos 4 elementos em \(TraditionalForm\`{ρ\_a, \ ρ\_b, \ ρ\_c, \ ρ\_d}\).

({{e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1))}, {(Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), e}, {(Subscript[ρ, a]^(-1)), e, (Subscript[ρ, a])}})

7 de Indice 6

Subgrupos cíclicos de ordem 4 existem 3 para cada um dos elementos de \(TraditionalForm\`{η\_ab\%cd, η\_ac\%bd, η\_ad\%bc}\) e correspondem a subgrupos formados por pares de simetrias \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\)e \(TraditionalForm\`η\_αβ\%γδ\) com o mesmo eixo \(TraditionalForm\`𝕖\_αβ\%γδ\). Note-se que \(TraditionalForm\`\((η\_αβ\%γδ)\)\^2 = σ\_αβ\%γδ\).

({{e, (Subscript[σ, ac]), (Subscript[η, ac]), (Subscript[η, ac]^(-1))}, {(Subscript[σ, ac]), e, (Subscript[η, ac]^(-1)), (Subscript[η, ac])}, {(Subscript[η, ac]), (Subscript[η, ac]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), e}, {(Subscript[η, ac]^(-1)), (Subscript[η, ac]), e, (Subscript[σ, ac])}})

Adicionalmente, as rotações \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\) de 180  °em torno de eixos ortogonais \(TraditionalForm\`𝕖\_αβ\%γδ\)  formam um subgrupo normal \(TraditionalForm\`N\_4 = 𝒞\_1⊕𝒞\_3\).

({{e, (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad])}, {(Subscript[σ, ab]), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac])}, {(Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[σ, ab])}, {(Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ab]), e}})

Há 3 subgrupos gerados por pares de simetrias (Subscript[π, α])β disjuntas e que são do tipo \(TraditionalForm\`{e, \ π\_ab, π\_cd, σ\_ab\%cd = \(π\_ab\) π\_cd}\) .

({{e, (Subscript[π, ad]), (Subscript[π, bc]), (Subscript[σ, ad])}, {(Subscript[π, ad]), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[π, bc])}, {(Subscript[π, bc]), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[π, ad])}, {(Subscript[σ, ad]), (Subscript[π, bc]), (Subscript[π, ad]), e}})

4 Indice 4

Subgrupos de ordem 6 existem 4 diferentes, isomorfos a (Subscript[𝒮, 3]), e são constituídos por simetrias que fixam um ponto: por exemplo, para a fixo \(TraditionalForm\`H\_a = {e, π\_ab, π\_ac, π\_ad, ρ\_a, ρ\_a\%\(-1\)}\)

({{e, (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, ac]), (Subscript[π, ad]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1))}, {(Subscript[π, ab]), e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[π, ac]), (Subscript[π, ad])}, {(Subscript[π, ac]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[π, ad]), (Subscript[π, ab])}, {(Subscript[π, ad]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), e, (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, ac])}, {(Subscript[ρ, a]), (Subscript[π, ad]), (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, ac]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), e}, {(Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[π, ac]), (Subscript[π, ad]), (Subscript[π, ab]), e, (Subscript[ρ, a])}})

3 Indice 3

Subgrupos de  ordem 8 podem ser formados por produtos semidirectos de cada um dos cíclicos (Subscript[H, α])β de ordem 2 com (Subscript[N, 4]), sendo um exempo (Subscript[K, ab])=(Subscript[N, 4])⊙s(Subscript[H, ab])={e,(Subscript[π, ab]),(Subscript[π, cd]),(Subscript[σ, ab]),(Subscript[σ, ac]),(Subscript[σ, ad]),(Subscript[η, ab]),(Subscript[η, ab]^(-1))} havendo 3 no total.

({{e, (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[η, ab]), (Subscript[η, ab]^(-1))}, {(Subscript[π, ab]), e, (Subscript[σ, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[η, ab]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad])}, {(Subscript[π, cd]), (Subscript[σ, ab]), e, (Subscript[π, ab]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[η, ab]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac])}, {(Subscript[σ, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[π, ab]), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[η, ab])}, {(Subscript[σ, ac]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[η, ab]), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[σ, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[π, ab])}, {(Subscript[σ, ad]), (Subscript[η, ab]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ab]), e, (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, cd])}, {(Subscript[η, ab]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[π, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[σ, ab]), e}, {(Subscript[η, ab]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[η, ab]), (Subscript[π, cd]), (Subscript[π, ab]), e, (Subscript[σ, ab])}})

1 Indice 2

Por outro lado, os 3 subgrupos de ordem 4 não dão origem a nenhum novo subgrupo por produto semi-directo com (Subscript[N, 4]) porque \(TraditionalForm\`\((η\_αβ\%γδ)\)\^2 = σ\_αβ\%γδ\) e \(TraditionalForm\`\((η\_αβ\%γδ)\)\^3 = \((η\_αβ\%γδ)\)\^\(-1\)\), donde produtos do tipo \(TraditionalForm\`η\_αβ\%γδ\ σ\_μν\%\(\(\ \)\(λτ\)\)\) ou são \(TraditionalForm\`η\_αβ\%γδ\ σ\_αβ\%\(\(\ \)\(γδ\)\) = \((η\_αβ\%γδ)\)\^\(-1\)\) ou são \(TraditionalForm\`η\_αβ\%γδ\ σ\_μν\%\(\(\ \)\(λτ\)\) = π\_αβ\)ou (Subscript[π, γ])δ.

Os subgrupos cíclicos de ordem 3 geram produtos semidirectos com (Subscript[N, 4]) que são todos coincidentes com o subgrupo  de rotações próprias (isomorfo ao alternante  (Subscript[A, 4])).

T={e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1))}(Subscript[×, s])(Subscript[N, 4])={e,(Subscript[ρ, a]),(Subscript[ρ, b]),(Subscript[ρ, c]),(Subscript[ρ, d]),(Subscript[ρ, a]^(-1)),(Subscript[ρ, b]^(-1)),(Subscript[ρ, c]^(-1)),(Subscript[ρ, d]^(-1)),(Subscript[σ, ab]),(Subscript[σ, ac]),(Subscript[σ, ad])}=\(𝒞\_1⊕𝒞\_3⊕𝒞\_4\)

({{e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad])}, {(Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, c])}, {(Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, d])}, {(Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ac]), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, a])}, {(Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, b])}, {(Subscript[ρ, a]^(-1)), e, (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1))}, {(Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), e, (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1))}, {(Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ab]), e, (Subscript[σ, ac]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1))}, {(Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[σ, ab]), (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac]), e, (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1))}, {(Subscript[σ, ab]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), e, (Subscript[σ, ad]), (Subscript[σ, ac])}, {(Subscript[σ, ac]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[σ, ad]), e, (Subscript[σ, ab])}, {(Subscript[σ, ad]), (Subscript[ρ, b]), (Subscript[ρ, a]), (Subscript[ρ, d]), (Subscript[ρ, c]), (Subscript[ρ, c]^(-1)), (Subscript[ρ, d]^(-1)), (Subscript[ρ, a]^(-1)), (Subscript[ρ, b]^(-1)), (Subscript[σ, ac]), (Subscript[σ, ab]), e}})

Esta tabela de multiplicação é interessante porque evidencia que qualquer subgrupo envolvendo simultâneamente  um par (Subscript[ρ, κ]) e \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\) teria que incluir todos os restantes ρ e σ, e um subgrupo envolvendo apenas rotações  ρ ou é cíclico de ordem 3 ou é T.

O único subgrupo de indice=2 em (Subscript[𝒮, 4]) é o grupo alternante (Subscript[A, 4]) de permutações pares. Para ver que é normal  basta notar que é o grupo derivado \(TraditionalForm\`A\_4 = \([𝒮\_4, 𝒮\_4]\)\). Se existisse outro subgrupo N de index 2, teria de ser normal também.  Mas para isso se verificar teria de ser soma directa de classes de conjugação, e pelo menos uma delas teria de ser de permutações ímpares e outra de permutações pares (porque o produto de permutações ímpares é par). As classes de tipo ímpar têem ambas 6 elementos cada uma, enquanto as pares têem cardinalidades 1, 3 e 8. Não é possível formar um grupo com 12 elementos doutra forma que não (Subscript[A, 4]). Assim, o subgrupo de (Subscript[T, d]) de índice 2 é o conjunto formado pelas rotações próprias.

Produto Semi-directo

O grupo (Subscript[T, d]) pode ser encarado como o produto semidirecto do subgrupo normal (Subscript[N, 4]) com um dos 4 subgrupos de estacionaridade dum vértice, isomorfos a (Subscript[𝒮, 3]), por exemplo

(Subscript[T, d])≃(Subscript[N, 4])⊙s(Subscript[H, a])=\({e, σ\_ab\%cd, σ\_ac\%bd, σ\_ad\%bc}\)⊙s\({e, π\_ab, π\_ac, π\_ad, ρ\_a, ρ\_a\%\(-1\)}\)

Pode ainda ser visto como um produto semidirecto (Subscript[T, d])≃T⊙(Subscript[s H, αβ]) do subgrupo  T com um dos 6 subgrupos de estacionaridade de dois vértices formado por reflexões (Subscript[π, α])β, mas não com os formados por rotações \(TraditionalForm\`σ\_αβ\%γδ\), que já pertencem a T.

Problema 1.2

Dado um subgrupo H de um grupo finito  G, escolha um representante (Subscript[t, i]) ∈  (Subscript[Hg, i]) de cada um dos n co-conjuntos à direita de H em G. Determine o núcleo da correspondência σ : G -> (Subscript[𝒮, n]) entre g∈G  e a permutação 

		(Subscript[σ, g])=(({{H (Subscript[t, 1]), (Subscript[Ht, 2]), …, (Subscript[Ht, n])}, {(Subscript[Ht, 1]) g, (Subscript[Ht, 2]) g, …, (Subscript[Ht, n]) g}}))

e mostre que é um  subgrupo. Verifique se é normal (ou em que condições o é).

Solução  1. 2

Núcleo de σ

Para pertencer ao núcleo de σ o elemento g deve ser tal que, para todos os i = 1, 2, …,  n, se tenha (Subscript[Ht, i]) = (Subscript[Ht, i]) g, o que é equivalente a afirmar que g ∈  (Subscript[t, i]^(-1)) (Subscript[Ht, i]), ou seja Ker[σ]=(⋂_(i = 1)^n)(Subscript[t, i]^(-1))H (Subscript[t, i]). Dois elementos g, (g^′) ∈ Ker[σ] multiplicados dão (gg^′) = ((Subscript[t, i]^(-1)) (Subscript[h, i]) 
                (Subscript[t, i])) ((Subscript[t, i]^(-1)) (Subscript[h, i]^′) 
                (Subscript[t, i])) = (Subscript[t, i]^(-1))((Subscript[h, i]) (Subscript[h, i]^′)) 
              (Subscript[t, i])  ∈  Ker[σ]. Por outro lado (g^(-1)) = ((Subscript[t, i]^(-1)) (Subscript[h, i]^(-1)) 
              (Subscript[t, i])) ∈ Ker[σ] e e = ((Subscript[t, i]^(-1)) e (Subscript[t, i])) ∈ 
          Ker[σ] , donde Ker[σ] é um subgrupo de G.

Invariância de Ker[σ]

Este grupo é normal porque  σ  é um morfismo de grupos já que 
(Subscript[σ, g]) (Subscript[σ, (g^′)])=(({{H (Subscript[t, 1]), (Subscript[Ht, 2]), …, (Subscript[Ht, n])}, {(Subscript[Ht, 1]) g, (Subscript[Ht, 2]) g, …, (Subscript[Ht, n]) g}}))(({{H (Subscript[t, 1]), (Subscript[Ht, 2]), …, (Subscript[Ht, n])}, {(Subscript[Ht, 1]) (g^′), (Subscript[Ht, 2]) (g^′), …, (Subscript[Ht, n]) (g^′)}})) =(({{H (Subscript[t, 1]), (Subscript[Ht, 2]), …, (Subscript[Ht, n])}, {(Subscript[Ht, 1]) g, (Subscript[Ht, 2]) g, …, (Subscript[Ht, n]) g}}))(({{(Subscript[Ht, 1]) g, (Subscript[Ht, 2]) g, …, (Subscript[Ht, n]) g}, {(Subscript[Ht, 1]) (gg^′), (Subscript[Ht, 2]) (gg^′), …, (Subscript[Ht, n]) (gg^′)}}))=(({{H (Subscript[t, 1]), (Subscript[Ht, 2]), …, (Subscript[Ht, n])}, {(Subscript[Ht, 1]) (gg^′), (Subscript[Ht, 2]) (gg^′), …, (Subscript[Ht, n]) (gg^′)}})) =(Subscript[σ, (gg^′)])

Então para (g^′) ∈ G e g ∈ Ker[σ] tem-se \(TraditionalForm\`σ\_\(\(g\^′\) gg\^\(′ - 1\)\) = \(\(σ\_\(g\^′\)\) \(σ\_g\) σ\_\(g\^\(′ - 1\)\) = \(\(σ\_\(g\^′\)\) e\ σ\_\(g\^\(′ - 1\)\) = 
            e\)\)\) donde (g^′) (gg^(′ - 1)) ∈ 
        Ker[σ].