5ª Aula Prática de TFCOMP-II

Problema 1

Faça um estudo do pêndulo simples de comprimento no campo gravítico SEM a aproximação , i.e. para movimentos angulares arbitrários.            
Resolva numéricamente a equação diferencial deste pêndulo usando com as apropriadas condições iniciais. Faça gráficos representando o tipo de movimentos obtidos com diferentes condições iniciais.
Calcule o período deste pêndulo verdadeiro em função da posição inicial parada , usando o facto de que uma oscilação completa leva quatro vezes o tempo de ir de a .
Compare o seu valor com a expressão :          
( a função nativa de e ) e represente gráficamente o desvio relativamente à fórmula usada para pequenas oscilações.

Problema 2

Analise o sistema do problema anterior no espaço de fases com coordenadas , integrando um sistema de duas equações diferenciais de 1ª ordem. Represente gráficamente o movimento neste espaço. Visualise os três tipos de curva que pode obter e interprete-as.        
Determine a velocidade angular na posição inicial   necessária  para que o pêndulo atinja a posição de equilíbrio instável  . Despreze atritos no movimento.

Problema 3

Faça um desenvolvimento em série de Taylor da função nativa na vizinhança de e deduza a expressão para o termo geral .  

Use a função para calcular o raio de convergência desta série, i.e. o valor para o qual se verifica que a série converge quando e diverge quando .

Determine a condição sobre e para que a série seja convergente quando .

Para examinar o comportamento da série quando   use o teste de Gauss: uma série de termos positivos é convergente se, a partir de um valor ,

                                                       
onde e são constantes e .

Use as funções e para armazenar num ficheiro "hyper.dat" os valores reais com 5 dígitos da função avaliada em 256 pontos no domínio de convergência .  Use para fazer um desses dados.

Problema 4

Construa um operador genérico   que, dada uma função de coordenadas generalizadas e respectivos momentos , deduza as componentes do respectivo campo vectorial hamiltoneano , cujas componentes obedecem às Equações de Hamilton  
                                                        e       
                                                    
Use as funcionalidades de    para representar o campo hamiltoneano para funções de duas variáveis, e em particular aplique-o ao Hamiltoneano (i.e. função Energia Total) do pêndulo simples do primeiro problema.