Pratica-1.4.nb

•Solução-3

De acordo com as regras definidoras, conclui-se que

Portanto, os diferentes elementos de

são:
Comprimento 1:

Comprimento 2:

Comprimento 3:

Comprimento 4:

(O elemento

já foi contabilizado.)
O grupo não possui elementos de comprimento 5 porque

.
Os pares de elementos inversos são:

e	<-->
x	<-->
y	<-->

2 -1 -1 x y <--> y x 戁 y x 2 -1 -1 y x <--> x y 戁 x y -1 -1 -1 x y x <--> y x y 戁 x y x 2 2 -1 -1 2 -1 x y x <--> x y x 戁 x y (x ) 2 2 2 -1 -1 -1 x y x <--> x y x 戁 (x ) y x

Observe que estes pares têm de estar juntos dentro ou fora de cada subgrupo de . Além disso, os subgrupos têm que ter cardinalidade divisora de . Assim, procuremos subgrupos próprios de ordem e

	$H _ 2 = {e, y}$	$H _ 3 = {e, x, x^2}$
$H _ 1 = {e}$	$H _ 2 = {e, x^2 y x}$	$H _ 3 = {1, x y, y x^2}$
	$H _ 2 = {e, x y x^2}$	$H _ 3 = {1, y x, x^2 y }$

$H _ 4 = {e, y, x^2 y x, x y x^2}$

Não existe subgrupo de ordem

.

A determinação de um subgrupo normal pode teóricamente ser feita através do comutador

. O subgrupo gerado por este espaço é

porque, se

, então

onde cada

é da forma

. Como a conjugação é distributível em relação ao produto, basta mostrar que, para

onde

e análogamente para

.

Mas na prática torna-se mais fácil determinar subgrupos que sejam soma directa de classes de conjugação completas de

$韣 _ 1 = {1}$

$韣 _ 2 = {x^2 y x, x y x^2, y}$

$韣 _ 3 = {x, y x, x y, y x y}$

$韣 _ 4 = {x y x, x^2, y x^2, x^2 y}$

A tabela de multiplicação de classes é

O único candidato é

já que

são as únicas classes contêm os próprios inversos e cujo produto é fechado.

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