1ª Aula Prática de TGF
LEFT-1° Semestre 2002/2003

Problema-1

A razão anarmónica entre 4 pontos P _ 1, P _ 2, P _ 3, P _ 4 numa recta é definida como k = (P _ 1 P _ 2 : P _ 3 P _ 2)/(P _ 1 P _ 4 : P _ 3 P _ 4), onde P _ i P _ j representa a distância entre os pontos i, j. Mostre que esta razão é invariante para transformações projectivas de ÷µ definidas por

x -> x^' = (x α + β)/(x γ + δ)

onde αδ - βγ != 0. Verifique se as transformações indicadas formam um grupo.

•Solução-1

Problema-2

Qual é a ordem de um grupo G .= < x, y > gerado por dois elementos x, y sujeitos às relações

x^3 = y^2 = (x y)^2 = 1

Determine os subgrupos de G.

•Solução-2

Problema-3

Qual é a ordem de um grupo G .= < x, y > gerado por dois elementos x, y sujeitos às relações

x^3 = y^2 = (x y)^3 = 1

Determine os subgrupos  normais de G.

•Solução-3

Problema-4

Seja Q .= < a, b > o grupo quaterniónico gerado por produto de matrizes  

a = ( 0 1 )       e       b = ( 0 i ) -1 0 i 0

onde i^2 = -1. Caracterize Q e os seus subgrupos, e mostre que Q é isomorfo ao grupo gerado por elementos k _ o, k _ 1, k _ 2, k _ 3  que verificam

k _ 1^2 = k _ 2^2 = k _ 3^2 = k _ o
k _ 1 k _ 2 = k _ 3
k _ 2 k _ 3 = k _ 1
k _ 3 k _ 1 = k _ 2
k _ o^2 = 1

•Solução-4

Problema-5

Seja T .= < a, b > o grupo  gerado por produto de matrizes  

a = ( 0 1 )       e       b = ( 0 1 ) -1 0 1 0

Caracterize T e os seus subgrupos, e mostre que T não é isomorfo ao grupo quaterniónico do problema anterior.

Problema-6

Os grupos diédricos D _ k são gerados por elementos a, b sujeitos a relações

a^2 = b^k = (a b)^2 = 1    (k >= 3)

Mostre que D _ k é isomorfo ao grupo multiplicativo gerado pelas matrizes complexas

a = ( 0 1 )       e       b = ( )     ξ 1 1 0 -1 1 ξ

onde ξ = e^((2 π)/k i). Determine as classes de conjugação de D _ k.
Mostre que RowBox[{ , Cell[TextData[Cell[BoxData[D ]]]]}] 4é isomorfo ao grupo T do problema anterior.

Converted by Mathematica  (October 16, 2002)